第4單元 導數及其應用
四、高考分析及預測
§4.1導數的概念及運算
新課標要求
1. 了解導數概念的某些實際背景瞬時速度,加速度等),掌握函數在一點處的導數的定義及其幾何意義,理解導函數的概念.
2. 熟記基本導數公式,掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則,了解復合函數的求導法則,會求某些簡單復合函數的導數.
重難點聚焦
重點:理解導數的概念及常見函數的導數
難點:理解導數與復合函數的導數.
高考分析及預測
在高考中,常以選擇或填空的形式考查導數的概念,及幾何意義,也以解答題的形式考查與切線有關的綜合性題目,難度不大.
再現型題組
1.函數
的圖像是折線段ABC,其中A.B.C的坐標分別為
,則
，
＝
.
2. 在高臺跳水運動中,t秒時運動員相對于水面的高度為
,則運動員在1秒時的瞬時速度為
,此時運動狀態是
3.過P(-1,2)且與曲線
在點M(1,1)處的切線平行的直線方程是 .
4.求下列函數的導數 (1)
(2)
(3) 
鞏固型題組
5.函數
的圖像在點M
處的切線方程是
,
= .
6.已知曲線求
(1).曲線在P(1,1)處的切線方程.
(2).曲線過點Q(1,0)的切線方程.
(3).滿足斜率為-
的切線的方程.
提高型題組
7.已知直線y=kx與y=lnx有公共點,則k的最大值為 .
8在下列四個函數中，滿足性質：“對于區間（1，2）的任意
恒成立的是（ ）.
A 
B 
C 
D 
9. 設函數
的導數是
，則數列
的前n項和為（ ）
A 
B
C 
D
反饋型題組
10.
,若
則a=
.
11.若曲線
的一條切線
與
垂直,則的方程為
12.曲線
在
處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為
.
13設
則
( )
A sinx B ?sinx C cosx D -cosx
14.點P是曲線
上任一點，則點P到直線
的距離的最小值是 。
沾化一中 馮樹華
4.2函數的單調性與導數
新課標要求
1. 借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系。
2. 能利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間。
重點、難點聚焦
1. 在確定函數的單調區間時，應首先考慮所給函數的定義域，函數的單調區間應是定義域的子集。
2. 當求出函數的單調區間（如單調增區間）有多個時，不能把這些區間取并集。
3. 
（或
）是
在某一區間上為增函數（或減函數）的充分不必要條件。
高考分析及預測
函數的單調性是函數的一條重要性質，也是高中階段研究的重點，用導數判斷函數的單調性是新課標的要求。在2008年的高考中，絕大部分地區都在此考點命題。，估計在2009年的高考中，仍將是熱點，應高度重視。
題組設計
再現型題組
1.在某個區間（a,b）內，如果，那么函數
在這個區間內
；如果，那么這個函數在這個區間內
。
2.函數
的單調遞增區間
單調遞減區間 。
鞏固型題組
3.求函數
的單調區間。
4. 已知函數
在實數集R上單調遞增，求
的取值范圍。
提高型題組
5. 已知函數
（1）求的單調遞減區間；
（2）若在區間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區間上的最小值
6.設函數
，其中
，求的單調區間。
反饋型題組
7.下列函數中,在
上為增函數的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.函數
的單調增區間為（ ）
A.
B.
C.
D. 
9.若函數
的遞減區間為
，則的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
10．以下四圖，都是同一坐標系中三次函數及其導函數的圖像，其中一定不正確的序號是（ ）
A．①、② B．①、③ C．③、④ D．①、④
11.若在區間
內有
且
則在內有（ ）
A.
B.
C.
D.不能確定
12.已知函數
.
（1）設,討論
的單調性；
（2）如對任意
恒有
，求的取值范圍。
13. 設函數
，已知
是奇函數。
（Ⅰ）求
、
的值。（Ⅱ）求
的單調區間與極值。
沾化一中 馬海峰
§4.3 函數的極值、最值及優化問題
新課標要求
1、結合函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；
2、會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值以及閉區間上不超過三次的多項式函數最大值、最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性．
3通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的作用．
重點難點聚焦
1、重點：結合函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值以及閉區間上不超過三次的多項式函數最大值、最小值；
2、難點：體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性．
命題趨勢
1、 該節是2009年高考考查的熱點，主要考查導數在研究函數性質方面的應用，包括求函數的最值、極值，實際問題中的優化問題等。
2、導數內容和傳統內容中有關函數的單調性，方程根的分布，解析幾何中的切線問題等有機結合，設計綜合性試題，在這方面多下工夫。
題組設計
再現型題組
1、函數
在區間
上的最小值為（ ）
A．
B．
C．
D．
2、函數
有（ ）
A．極大值
，極小值
B．極大值，極小值
C．極大值，無極小值
D．極小值，無極大值
3、已知對任意實數
，有
，且
時，
，
則
時（ ）
A．
B．
C．
D．
4、已知函數
在區間
上的最大值與最小值分別為
，則
5、設
，當
時，
恒成立，則實數
的
取值范圍為 。
鞏固型題組
6、已知函數
在
與
時都取得極值
(1)求
的值與函數的單調區間；
(2)若對
，不等式
恒成立，求的取值范圍。
7、統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量
（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數解析式可以表示為：
．已知甲、乙兩地相距100千米
（Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
提高型題組
8、已知
在區間[0,1]上是增函數,在區間
上是減函數,又
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在區間
(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范圍。
9、已知定義在正實數集上的函數
，
，其中
．設兩曲線
，
有公共點，且在該點處的切線相同。
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求證：
（）。
反饋型題組
10、函數
的最大值為（ ）
A．
B．
C．
D．
11、對于
上可導的任意函數，若滿足
，則必有（ ）
A． 
B.
C. 
D.
12、若函數
在
處有極大值，則常數的值為 ；
13、函數
在
時有極值
，那么的值分別為 ， 。
14、用長為
15、設函數
．
（Ⅰ）求的最小值
；
（Ⅱ）若
對
恒成立，求實數的取值范圍．
沾化一中 王建國
4.4定積分概念及微積分原理
1、 了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。
2、 了解微積分定理的含義。
1、定積分幾何意義：
①
表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積
②
表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相反數
2、微積分基本定理
如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數，則
此公式進一步揭示了定積分與原函數之間的聯系。
3、定積分的計算
①定義法：分割―近似代替―求和―取極限
②利用定積分幾何意義
③微積分基本公式
④換元法與分部積分法
4、定積分的基本應用：
（1）定積分在幾何上的應用――計算平面圖形的面積
（2）定積分在物理上的應用：①變速直線運動的路程，②變力作功。
本部分知識以選擇、填空題為主考查定積分的幾何意義、基本性質和微積分基本定理
1、下列等于1的積分是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2、已知自由落體運動的速率
，則落體運動從
到
所走的路程為 （ ）
A．
B．
C．
D．
3、曲線
與坐標周圍成的面積 （ ）
A．4
B．
D．3
4、
= （ ）
A．
B．2e
C．
D．
5、求由
圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇ｘ為積分變量，則積分區間為（�。�
A．［0，
］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］
6、如果1N力能拉長彈簧
A．0.18
B．
7、計算下列定積分的值
（1）
；（2）
；
（3）
； （4）
8、求由曲線
與
，
，所圍成的平面圖形的面積
 |
9、設y=f（x）是二次函數,方程f（x）=0有兩個相等的實根，且
=2x+2.
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積.
（2）若直線x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.
10、拋物線y=ax2＋bx在第一象限內與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a、b值，并求Smax
 |
11．求曲線
與
軸所圍成的圖形的面積
12．一物體按規律x＝bt3作直線運動，式中x為在時間t內通過的距離，媒質的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運動到x＝a時，阻力所作的功．
【歸納小結】
1．定積分的概念，要抓住定義中的本質內容，分割、近似、求和、取極限，并能解釋定義和有關性質的幾何意義，幫助加深和理解。
2．定積分應用主要表現在：（1）求平面圖形的面積（2）變速直線運動的路程（3）變力作功。應通過足夠例子熟練運用定積分表示一些幾何、物理量。
沾化一中 朱忠祥
第4單元 導數及其應用45分鐘單元綜合測試題
一、選擇題
1、函數f(x)=
x3+ax+1在（-∞,-1）上為增函數，在（-1，1）上為減函數，則f(1)為( )
A
B
D.-1
2、已知二次函數
的導數為
，
，對于任意
實數
有
則
的最小值（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3、設函數
是
上以5為周期的可導偶函數，則曲線
在
的切線的斜率為（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4設
在
內單調遞增，
，則
是
的
（ �。�
Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件
5、曲線
在點
處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（ ）
A．
B．
C．
D．
6、在函數
的圖象上，其切線的傾斜角小于
的點中，坐標為整數的點的個數是（ ）
A．3 B．
二、填空題
7、若函數
有且僅有一個極值點，求實數的取值范圍
8、已知函數
在區間
上的最大值與最小值分別為
，
，則
___．
9、已知曲線
，則
_____________。
10、P是拋物線
上的點，若過點P的切線方程與直線
垂直，則過P點處的切線方程是____________。
三、解答題
11、設
，
．令
，討論
在
內的單調性。
12、如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為
，短半軸長為
，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底
是半橢圓的短軸，上底
的端點在橢圓上，記
，梯形
面積為
．
（I）求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；
（II）求面積的最大值．
沾化一中 李方成
§4.1導數的概念及運算答案或提示
再現型題組
1 [答案或提示] 2；2
[基礎知識聚焦] 函數在某一點處的導數的定義為
及其變形,特別注意函數值的增量與自變量的增量.
幾何意義表示曲線在點
處的切線的斜率.
2．[答案或提示]
[基礎知識聚焦] 此題考察導數的物理意義,速度是位移對時間的導數
3.
[答案或提示] 
[基礎知識聚焦]此題考察函數在某一點處的切線方程的求法。即求切線的斜率
4．[答案或提示]（1）
（2） 
（3）
[基礎知識聚焦]要熟記常見函數的求導公式及導數運算的法則。在求復合函數的導數時關鍵是分清函數的復合關系逐步求導直到最后，把中間變量轉變為自變量的函數。
5 .
[解] 
點M在
上
又
∴
[點評] 切點既在曲線上又在切線上,以及切線得我斜率為,這三點往往用在解與切線有關的題目.
6.
[解](1)
,P(1,1)是切點
曲線在P處的切線方程是
(2)顯然Q(1,0)不在曲線上,則可設過該點的切線的切點是
,則該切線的斜率是
.
則切線的方程為
將Q(1,0)代入上面方程得
,故所求方程為
.
(3).設切點得坐標為A,則切線得斜率為
,
解得
所以切線方程為
[點評] 不管是求函數圖像在某點處得切線方程還是求過某點得切線方程,首先都要求(或設)切點得坐標,得出切線得斜率
,在解決問題.
7.解：求k的最大值就是求
相切時切線的斜率
設切點為
,則
,
[點評] 把所求問題轉化為與切線有關的問題.
8.選A.
[解] 由
,即-1<k<1,A中
,當
時
滿足題意.B中
不滿足題意C中
,當x =2時,
,不滿足題意.D中
不滿足題意.
[點評]本題考查函數的性質及導數的應用.
9.[解]選A.由題意得
所以數列
的前n項和為：
[點評] 本題考查函數的導數的定義及數列的求和
反饋型題組
10．[答案或提示]
11．[答案或提示]y=4x-3
12. [答案或提示]
13. . [答案或提示]A
14. . [答案或提示] 
4.2函數的單調性與導數（解答部分）
再現型題組
1. 解答：單調遞增 單調遞減
【評析】㈠與為增函數的關系。
能推出為增函數，但反之不一定。如函數
在
上單調遞增，但
，∴是為增函數的充分不必要條件。
㈡
時，與為增函數的關系。
若將
的根作為分界點，因為規定，即摳去了分界點，此時為增函數，就一定有�！喈�時，是為增函數的充分必要條件。
㈢與為增函數的關系。
為增函數，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數在某個區間內恒有，則為常數，函數不具有單調性。∴是為增函數的必要不充分條件。
2.
解答：單調遞增區間
單調遞減區間
【評析】函數的單調遞增區間是兩個區間，但是不能寫成
。有關函數單調區間的合并主要依據是函數在單調遞增，在
單調遞增，又知函數在
處連續，因此在
單調遞增。
鞏固型題組
3.
解答：函數的定義域為
令則
>0
或
.
函數的單調遞增區間為
和
.
令
則<0.
且
函數的單調遞減區間為
和
另解：可以結合函數
的圖像與性質來解決。
【評析】依據導數在某一區間內的符號來確定函數的單調區間，體現了形象思維的直觀性和運動性，解決這類問題，如果僅利用函數單調性的定義來確定函數的單調區間，則運算復雜且難以找準。
4.解答1： 因為f ’(x)=2x-a
令2x-a<0 得x<a／2
要使f(x)在(－∞，1)上是減函數,
解答2： 因為f ’(x)=2x-a
要使f(x)在(－∞，1)上是減函數,
只要f ’(x)＝2x-a在(－∞，1)上恒小于0
即 2x-a＜0 在(－∞，1)上恒成立.
即 a>2x在(－∞，1)上恒成立.
因為x<1 所以2x<2
因此a≥2
【評析】主要考查，與函數單調性的關系
提高型題組
5.解答：（1）
令
所以函數的單調遞減區間為（－
，－1）和（3，+）（2）
因為
所以
因為在（－1，3）上
>0，所以在[－1，2]上單調遞增，
又由于在[－2，－1]上單調遞減，
因此f（2）和f（－1）分別是在區間[－2，2]上的最大值和最小值
于是有22+a=20，解得a=－2。
故
因此f（－1）=1+3－9－2=－7，
即函數在區間[－2，2]上的最小值為－7。
【評析】函數的單調性與極值最值結合是高考中的重點.
6.解答:由已知得函數的定義域為
，且
（1）當
時，
函數在上單調遞減，
（2）當時，由
解得
、隨的變化情況如下表
―
0
+
ㄋ
極小值
ㄊ
從上表可知
當
時，函數在上單調遞減.
當
時，
函數在上單調遞增.
綜上所述：
當時，函數在上單調遞減.
當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.
【評析】考查應用導求函數的單調性，對常用函數的導數公式一定要熟練掌握。
反饋型題組
7.解答：B
8解答：D
【評析】注意單調區間不要用并集。
9.解答：A
【評析】在求函數的單調遞減區間時注意對a進行分類討論，且是函數單調遞減區間的子集。
10.解答：C
【評析】利用數形結合在解決導數與函數的單調性問題上有很重要的作用.
11.解答：A
【評析】是函數單調遞增的充分不必要條件。
12.解答：（1）的定義域為
，對求導得
.
①當
時，
在
和
上均大于0，所以在
上為增函數.
②當
時，
在上為增函數.
③當
時，
令
解得
當變化時，和的變化情況如下表：
―
ㄊ
ㄋ
ㄊ
ㄊ
在
上為增函數，在為減函數.
（2）①當
時，由（1）知：對任意
恒有
②當時，取
則由（1）知
③當
時，對任意恒有
且
得
綜上當且僅當
時，對任意恒有
【評析】注意運用導數求解函數的單調區間的一般步驟
已知
（1）分析 的定義域； （2）求導數
（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間
（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間
函數解析式中有參數時，注意對參數的分類討論.
13. 【解析】：（Ⅰ）∵
，∴
。
從而
＝
是一個奇函數，所以
得
，由奇函數定義得
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，從而
，由此可知，
和
是函數是單調遞增區間；
是函數是單調遞減區間；
在
時，取得極大值，極大值為
，在
時，取得極小值，極小值為
。
§4.3函數的極值、最值及優化問題（解答部分）
再現型題組
1、【提示或答案】D
得
而端點的函數值
，得
【基礎知識聚焦】考查利用導數求最值
2、【提示或答案】C 
，當
時，
；當
時，
當
時，
；取不到
，無極小值
【基礎知識聚焦】考查利用導數求極值
3、【提示或答案】B 
,所以為奇函數，為偶函數。那么
為偶函數，
為奇函數。利用對稱性，故選B。
【基礎知識聚焦】考查函數的單調性和奇偶性以及導數在這方面的作用。
4、【提示或答案】32 
解得：
為極大值，
為極小值。計算
∴
，
【基礎知識聚焦】考查函數在必區間上的最值問題
5、【提示或答案】
時，
【基礎知識聚焦】考查利用導數求最值
鞏固型題組
6、 解：（1）
由
，
得
，函數的單調區間如下表：
極大值
¯
極小值
所以函數的遞增區間是與,遞減區間是；
（2）
，當時，
為極大值，而
，則為最大值，要使
恒成立，則只需要
，得
。
【點評】在利用導數求極值的過程中要注意嚴格按步驟。
7、解：（I）當
時，汽車從甲地到乙地行駛了
小時，
要耗油
（升）。
答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油
（II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了
小時，設耗油量為
升，
依題意得
令
得
當
時，
是減函數；
當
時，
是增函數。
當
時，取到極小值
因為在
上只有一個極值，所以它是最小值。
答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為
【點評】在利用導數求最值的過程中要注意嚴格按步驟，注意格式規范，步驟完整。
提高型題組
8、解：（Ⅰ）
，由已知
，
即
解得
，
，
，
．
（Ⅱ）令
，即
，
，
或
．
又在區間
上恒成立，
．
【點評】 考查導數在函數求最值的作用，注意體會導數的優越性，注意總結這一類問題的解決方法。
9、解：（Ⅰ）設與
在公共點
處的切線相同．
，
，由題意
，
．
即
由
得：
，或
（舍去）．
即有
．
令
，則
．于是
當
，即
時，
；
當
，即
時，
．
故在
為增函數，在
為減函數，
于是在
的最大值為
．
（Ⅱ）設
，
則
．
故
在
為減函數，在
為增函數，
于是函數在上的最小值是
．
故當時，有
，即當時，
．
【點評】本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力。
課堂小結
1、函數的極值和最值是有區別和聯系的：函數的極值是一個局部概念，而最值是某個區間上的整體概念，函數的極值可以有多個，而函數的最值最多有一個。
2、在求可導函數的最值時，不必討論導數為零的點是否為極值點，而直接將導數為零的點與端點處的函數值比較即可。
反饋型題組
10、A
11、C
12、6
13、4，-11
14、解：設長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為
.
故長方體的體積為
從而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
當0＜x＜1時，V′（x）＞0；當1＜x＜
時，V′（x）＜0，
故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。
從而最大體積V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此時長方體的長為
答：當長方體的長為
15、解：（Ⅰ）
，
當
時，取最小值
，
即
．
（Ⅱ）令
，
由
得
，
（不合題意，舍去）．
當
變化時
，
的變化情況如下表：
遞增
極大值
遞減
在
內有最大值
．
在內恒成立等價于
在內恒成立，
即等價于
，
所以的取值范圍為
．
4.4定積分概念及微積分原理
答案部分
 |
1、C 2、C 3、D 4、D 5、B 6、A
 |
7．【提示或答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
如圖是 
圓面積：積分
是圖中陰影部分的面積
=
8．【提示或答案】
【點評】定積分計算題為近幾年高考的考查重點。
 |
9．【提示或答案】解：（1）設f（x）=ax2+bx+c，則f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有兩個相等實根，
∴判別式Δ=4－
故f（x）=x2+2x+1.
（2）依題意，有所求面積=
.
（3）依題意，有
，
∴
，－
t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－
.
【點評】：本題考查導數和積分的基本概念.
10．【提示或答案】解 依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為x1=0，x2=－b/a，所以
(1)
又直線x＋y=4與拋物線y=ax2＋bx相切，即它們有唯一的公共點，
由方程組
得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)2＋
于是
代入（1）式得：
，
；
令S'(b)=0；在b＞0時得唯一駐點b=3，且當0＜b＜3時，S'(b)＞0；當b＞3時，S'(b)＜0．故在b=3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時，S取得最大值，且
．
【點評】在知識模塊的結合處出考題考查學生。
 |
11．【提示或答案】解：首先求出函數的零點：
，
，
.又易判斷出在
內，圖形在軸下方，在
內，圖形在軸上方，
所以所求面積為
12．【答案提示】解：物體的速度
．媒質阻力
，其中k為比例常數，k>0．
當x=0時，t=0；當x=a時，
，又ds=vdt，故阻力所作的功為
第一章導數及其應用
(45分鐘單元綜合測試題解答與提示)
一、選擇題
1、（C）分析:∵f′(x)=x2+a,又f′(-1)=0,∴a=-1,f(1)= -1+1=.
2、（C）
3、（B） 分析：這道題可以根據導數的幾何意義來求，導數的幾何意義是函數f(x)在點
的導數
是曲線在點
處的切線斜率.
4、（B）
5、（A）
6、（D）
解：切線的斜率
，傾斜角小于
，
所以不存在符合條件的整數x，故應選D.
分析：考查導數幾何性質的運用及斜率和傾斜角的關系，屬于中低檔題，立足交匯處設計試題是�？汲Ｐ�，值得關注.
二、填空題
7、解：
，
由題意得 
總成立，故
， ∴ 
8、32
9、
10、2x-y-1=0
三、解答題
11、解：根據求導法則有
，
故
，
于是
， 當
時，
，
當
時，
故知
在
內是減函數，在
內是增函數。．
12 (I)依題意，以的中點
為原點建立直角坐標系
（如圖），則點
的橫坐標
為．點的縱坐標
滿足方程
，
解得
則
，其定義域為
．
�。↖I）記
，則
．令
，得
．
因為當
時，
；當
時，
，所以
是的
最大值．
因此，當時，也取得最大值，最大值為
．即梯形面積
的最大值為
．
分析：在求實際問題中的最大值或最小值時，一般是先求出自變量、因變量，建立函數關系式，并確定其定義域。如果定義域是一個開區間，函數在定義域內可導（一般初等函數在自己的定義域內必可導），且此函數在這一開區間內有最大（�。┲�，那么只要對函數求導，當發現定義域內只有一個極值點時，立即可以斷定在這個極值點處的函數值就是最大（�。┲�。如果定義域是閉區間，則必須對該點處的函數值與端點處的函數值進行比較才能確定。
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