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1、試題特點

(1) 高考集合與簡易邏輯試題考查情況

2008年的高考在全國19套試卷中，都有體現，重點考查了集合間關系、集合的運算、充分條件與必要條件、四種命題等.　

　　據此可知，有關集合與簡易邏輯的試題是高考命題的重要題型，它的解答需要用到集合與簡邏輯的基礎知識、基本性質，及一些相關知識，如不等式、指數函數、對數函數等，其命題熱點是伴隨相關知識的考查，出現頻率較高的題型是有關不等式的命題。

(2) 主要特點

　　　　 縱觀近年來高考試題，特別是2008年高考試題，集合與簡易邏輯試題有如下特點：

　　　　 (1)全方位. 近幾年來的高考題中，集合與簡易邏輯的所有知識點都考過，雖然近幾年不強調知識的覆蓋率，但每一年集合與簡易邏輯知識點的覆蓋率依然沒有減小.

　　(2)巧綜合. 為了突出集合與簡易邏輯在中學中的重要地位，近幾年來高考強化了集合、簡易邏輯與其它知識的聯系，如集合與不等式、對數函數、指函數等知識的綜合都有出現.

(3)變角度. 出于“立意”和創設情景的需要，集合與簡易邏輯試題設置問題的角度和方式也不斷創新，重視數學思想的考查，加大了應用題、探索題、開放題和信息題的考查力度，如2008廣東文的第1題，2008江西理科的第2題，從而使集合與簡易邏輯考題顯得新穎、生動、靈活.

7.已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．用表示，并求的最大值；

解析：設與在公共點處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或(舍去)．

即有．

令，則．于是當，即時，；當，即時，．故在為增函數，

在為減函數，∴在的最大值為．

6.設函數在及時取得極值．

(Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ)若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．

解析：(Ⅰ)，由，．解得，．

(Ⅱ)在[0，3]上恒成立即，

由(Ⅰ)可知，，．

當時，；當時，；當時，．

即在0，1]上遞增，[1，2]上遞減，[2，3]上遞增；∴當時，取得極大值，又．故當時，的最大值為．

于是有：，解得　或，因此的取值范圍為。

5.已知函數在處有極值10,則　　　　

解析： ，∴=　 ①

　 ②　 由①②得：或

當時，，此時函數無極值，舍去；

當時，函數在處左減右增，有極小值；

此時∴18 。

4.已知函數在處取得極大值，在處取得極小值，且．(1)證明；(2)若z=a+2b,求z的取值范圍。

解析：函數的導數．

(Ⅰ)由函數在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根．所以；當時，為增函數，，由，得．

(Ⅱ)在題設下，等價于　即．

化簡得．此不等式組表示的區域為平面上三條直線：

所圍成的的內部，由“線性規劃”的知識容易求得：的取值范圍為．

3.f(x)是定義在(0，+∞)上的非負可導函數，且滿足xf^/(x)+f(x)≤0,對任意正數a、b,若a＜b，則必有　　　　　　　　　　 (　　 )　 (07陜西理11)

A.af(b) ≤bf(a)　　　　　　　　　　　　　　　 B.bf(a) ≤af(b)

C.af(a) ≤f(b)　　　　　　　　　　　　　　　　 D.bf(b) ≤f(a)

解析：xf^/(x)+f(x)≤0[xf(x)]^/ ≤0函數F(x)= xf(x) 在(0，+∞)上為常函數或遞減，

又0<a＜b且f(x)非負，于是有：af(a)≥bf(b)≥0　 ①　　 　　②

①②兩式相乘得： af(b) ≤bf(a)，故選A。

2.已知定義在R上的函數y=f(x)的導函數f^/(x)在R上也可導，且其導函數[f^/(x)]^/<0，

則y=f(x)的圖象可能是下圖中的　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．①②　　　 B．①③　　 C．②③　　　 D．③④

C解析：由[f^/(x)]^/<0知f^/(x)在R上遞減，即函數y=f(x)的圖象上從左到右各點處的切線斜率遞減，不難看出圖象②③滿足這一要求。

1.已知函數若在是增函數，求實數的范圍。

解析：≥0在上恒成立在上恒成立

而在上的最小值為16，故。

5.構造函數證明不等式.

典型例題

例7．(2006年天津卷)函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點(　)

A．1個

B．2個

C．3個

D． 4個

[考查目的]本題主要考查函數的導數和函數圖象性質等基礎知識的應用能力.

[解答過程]由圖象可見,在區間內的圖象上有一個極小值點.

故選A.

例8 .(2007年全國一)設函數在及時取得極值．

(Ⅰ)求a、b的值；

(Ⅱ)若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．

思路啟迪：利用函數在及時取得極值構造方程組求a、b的值．

解答過程：(Ⅰ)，

因為函數在及取得極值，則有，．

即

解得，．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

．

當時，；

當時，；

當時，．

所以，當時，取得極大值，又，．

則當時，的最大值為．

因為對于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范圍為．

例9.函數的值域是_____________.

思路啟迪：求函數的值域，是中學數學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以利用函數的單調性求出最大、最小值。此例的形式結構較為復雜，采用導數法求解較為容易。

解答過程：由得，，即函數的定義域為.

　　 ，

　　 又，

　　 當時，，

　　 函數在上是增函數，而，的值域是.

例10．(2006年天津卷)已知函數，其中為參數，且．

(1)當時，判斷函數是否有極值；

(2)要使函數的極小值大于零，求參數的取值范圍；

(3)若對(2)中所求的取值范圍內的任意參數，函數在區間內都是增函數，求實數的取值范圍．

[考查目的]本小題主要考查運用導數研究三角函數和函數的單調性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數學思想方法.

[解答過程](Ⅰ)當時，，則在內是增函數，故無極值.

(Ⅱ)，令，得.

由(Ⅰ)，只需分下面兩種情況討論.

①當時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：

x		0
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

因此，函數在處取得極小值，且_.

要使，必有，可得.

由于，故.

②當時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

因此，函數處取得極小值，且

若，則.矛盾.所以當時，的極小值不會大于零.

綜上，要使函數在內的極小值大于零，參數的取值范圍為.

(III)解：由(II)知，函數在區間與內都是增函數。

由題設，函數內是增函數，則a須滿足不等式組

　　　　 或 　　 　

由(II)，參數時時，.要使不等式關于參數恒成立，必有，即.

綜上，解得或.

所以的取值范圍是.

例11．(2006年山東卷)設函數f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區間.

[考查目的]本題考查了函數的導數求法,函數的極值的判定,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力

[解答過程]由已知得函數的定義域為，且

(1)當時，函數在上單調遞減，

(2)當時，由解得

、隨的變化情況如下表

	-	0	+
		極小值

從上表可知

當時，函數在上單調遞減.

當時，函數在上單調遞增.

綜上所述：當時，函數在上單調遞減.

當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.

例12．(2006年北京卷)已知函數在點處取得極大值，其導函數的圖象經過點，，如圖所示.求：

(Ⅰ)的值；

(Ⅱ)的值.

[考查目的]本小題考查了函數的導數,函數的極值的判定,閉區間上二次函數的最值, 函數與方程的轉化等基礎知識的綜合應用,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力

[解答過程]解法一：(Ⅰ)由圖像可知，在上，在上，在上,

故在上遞增，在上遞減，

因此在處取得極大值，所以

(Ⅱ)

由

得

解得

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)設

又

所以

由即得

所以

例13．(2006年湖北卷)設是函數的一個極值點.

(Ⅰ)求與的關系式(用表示)，并求的單調區間；

(Ⅱ)設，.若存在使得成立，求的取值范圍.

[考查目的]本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力.

[解答過程](Ⅰ)f `(x)＝－[x²+(a－2)x+b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²+(a－2)3+b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

則 f `(x)＝[x²+(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²+(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x+a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是極值點，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

當a<－4時，x₂>3＝x₁，則

在區間(－∞，3)上，f `(x)<0， f (x)為減函數；

在區間(3，―a―1)上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間(―a―1，+∞)上，f `(x)<0，f (x)為減函數.

當a>－4時，x₂<3＝x₁，則

在區間(－∞，―a―1)上，f `(x)<0， f (x)為減函數；

在區間(―a―1，3)上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間(3，+∞)上，f `(x)<0，f (x)為減函數.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當a>0時，f (x)在區間(0，3)上的單調遞增，在區間(3，4)上單調遞減，那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－(2a+3)e³<0，f (4)＝(2a+13)e^－1>0，f (3)＝a+6，

那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[－(2a+3)e³，a+6].

又在區間[0，4]上是增函數，

且它在區間[0，4]上的值域是[a²+，(a²+)e⁴]，

由于(a²+)－(a+6)＝a²－a+＝()²≥0，所以只須僅須

(a²+)－(a+6)<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范圍是(0，).

例14 (2007年全國二)

已知函數

在處取得極大值，在處取得極小值，且．

(1)證明；

(2)若z=a+2b,求z的取值范圍。

[解答過程]求函數的導數．

(Ⅰ)由函數在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根．

所以

當時，為增函數，，由，得．

(Ⅱ)在題設下，等價于　即．

化簡得．

此不等式組表示的區域為平面上三條直線：．

所圍成的的內部，其三個頂點分別為：．

在這三點的值依次為．

所以的取值范圍為．

小結：本題的新穎之處在把函數的導數與線性

規劃有機結合．

考點4 導數的實際應用

建立函數模型,利用

典型例題

例15. (2007年重慶文)

用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？

[考查目的]本小題主要考查函數、導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力.

[解答過程]設長方體的寬為x(m)，則長為2x(m)，高為

.

故長方體的體積為

從而

令V′(x)＝0，解得x=0(舍去)或x=1，因此x=1.

當0＜x＜1時，V′(x)＞0；當1＜x＜時，V′(x)＜0，

故在x=1處V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值。

從而最大體積V＝V′(x)＝9×1²-6×1³(m³)，此時長方體的長為2 m，高為1.5 m.

答：當長方體的長為2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m³。

例16．(2006年福建卷)統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗

油量(升)關于行駛速度(千米/小時)的函數解析式可以表示為：

已知甲、乙兩地相距100千米.

(I)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

(II)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

[考查目的]本小題主要考查函數、導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力.

[解答過程](I)當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，

要耗沒(升).

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。

(II)當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，依題意得

　　

令得

當時，是減函數；當時，是增函數.

當時，取到極小值

因為在上只有一個極值，所以它是最小值.

答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.

考點1　 導數的概念

對概念的要求：了解導數概念的實際背景，掌握導數在一點處的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念.

例1．(2007年北京卷)是的導函數，則的值是　　 ．

[考查目的] 本題主要考查函數的導數和計算等基礎知識和能力.

[解答過程]

故填3.

例2. ( 2006年湖南卷)設函數,集合M=,P=,若MP,則實數a的取值范圍是 (　 　　)

A.(-∞,1)　 B.(0,1)　　 C.(1,+∞)　　 D. [1,+∞)

[考查目的]本題主要考查函數的導數和集合等基礎知識的應用能力.

[解答過程]由

綜上可得MP時, 

考點2　 曲線的切線

(1)關于曲線在某一點的切線

求曲線y=f(x)在某一點P(x,y)的切線，即求出函數y=f(x)在P點的導數就是曲線在該點的切線的斜率.

(2)關于兩曲線的公切線

若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.

典型例題

例3.(2007年湖南文)已知函數在區間，內各有一個極值點．

(I)求的最大值；

(II)當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象(即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側)，求函數的表達式．

思路啟迪：用求導來求得切線斜率.

解答過程：(I)因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，

設兩實根為()，則，且．于是

，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16．

(II)解法一：由知在點處的切線的方程是

，即，

因為切線在點處空過的圖象，

所以在兩邊附近的函數值異號，則

不是的極值點．

而，且

．

若，則和都是的極值點．

所以，即，又由，得，故．

解法二：同解法一得

．

因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在()．

當時，，當時，；

或當時，，當時，．

設，則

當時，，當時，；

或當時，，當時，．

由知是的一個極值點，則，

所以，又由，得，故．

例4.(2006年安徽卷)若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為(　 )

A．　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　 D．

[考查目的]本題主要考查函數的導數和直線方程等基礎知識的應用能力.

[解答過程]與直線垂直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為.

故選A.

例5． ( 2006年重慶卷)過坐標原點且與x²+y² -4x+2y+=0相切的直線的方程為 (　 )

A.y=-3x或y=x　 B. y=-3x或y=-x　 C.y=-3x或y=-x　 D. y=3x或y=x

[考查目的]本題主要考查函數的導數和圓的方程、直線方程等基礎知識的應用能力.

[解答過程]解法1：設切線的方程為

又

故選A.

解法2:由解法1知切點坐標為由

故選A.

例6.已知兩拋物線, 取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.

思路啟迪：先對求導數.

解答過程：函數的導數為，曲線在點P()處的切線方程為，即 　 ①

曲線在點Q的切線方程是即

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

若直線是過點P點和Q點的公切線，則①式和②式都是的方程，故得

，消去得方程，

若△=，即時，解得，此時點P、Q重合.

∴當時，和有且只有一條公切線，由①式得公切線方程為 .

考點3　 導數的應用

中學階段所涉及的初等函數在其定義域內都是可導函數，導數是研究函數性質的重要而有力的工具，特別是對于函數的單調性，以“導數”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結合起來，極大地豐富了中學數學思想方法.復習時，應高度重視以下問題:

1.. 求函數的解析式; 2. 求函數的值域; 3.解決單調性問題; 4.求函數的極值(最值);