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構(gòu)造函數(shù)證明不等式. 典型例題 例7．函數(shù)的定義域為開區(qū)間.導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示.則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點( ) A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個 [考查目的]本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力. [解答過程]由圖象可見,在區(qū)間內(nèi)的圖象上有一個極小值點. 故選A. 例8 .設(shè)函數(shù)在及時取得極值． (Ⅰ)求a.b的值, (Ⅱ)若對于任意的.都有成立.求c的取值范圍． 思路啟迪:利用函數(shù)在及時取得極值構(gòu)造方程組求a.b的值． 解答過程:(Ⅰ). 因為函數(shù)在及取得極值.則有.． 即 解得.． 可知.. ． 當(dāng)時., 當(dāng)時., 當(dāng)時.． 所以.當(dāng)時.取得極大值.又.． 則當(dāng)時.的最大值為． 因為對于任意的.有恒成立. 所以 . 解得 或. 因此的取值范圍為． 例9.函數(shù)的值域是 . 思路啟迪:求函數(shù)的值域.是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點.一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解.也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大.最小值.此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜.采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易. 解答過程:由得..即函數(shù)的定義域為. . 又. 當(dāng)時.. 函數(shù)在上是增函數(shù).而.的值域是. 例10．已知函數(shù).其中為參數(shù).且． (1)當(dāng)時.判斷函數(shù)是否有極值, (2)要使函數(shù)的極小值大于零.求參數(shù)的取值范圍, 中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù).函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).求實數(shù)的取值范圍． [考查目的]本小題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值.解不等式等基礎(chǔ)知識.考查綜合分析和解決問題的能力.以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法. [解答過程](Ⅰ)當(dāng)時..則在內(nèi)是增函數(shù).故無極值. (Ⅱ).令.得. 由(Ⅰ).只需分下面兩種情況討論. ①當(dāng)時.隨x的變化的符號及的變化情況如下表: x 0 + 0 - 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此.函數(shù)在處取得極小值.且. 要使.必有.可得. 由于.故. ②當(dāng)時.隨x的變化.的符號及的變化情況如下表: + 0 - 0 + 極大值 極小值 因此.函數(shù)處取得極小值.且 若.則.矛盾.所以當(dāng)時.的極小值不會大于零. 綜上.要使函數(shù)在內(nèi)的極小值大于零.參數(shù)的取值范圍為. 知.函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù). 由題設(shè).函數(shù)內(nèi)是增函數(shù).則a須滿足不等式組 或 由(II).參數(shù)時時..要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立.必有.即. 綜上.解得或. 所以的取值范圍是. 例11．設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(a+1)ln(x+1).其中a-1.求f(x)的單調(diào)區(qū)間. [考查目的]本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力 [解答過程]由已知得函數(shù)的定義域為.且 (1)當(dāng)時.函數(shù)在上單調(diào)遞減. (2)當(dāng)時.由解得 .隨的變化情況如下表 - 0 + 極小值 從上表可知 當(dāng)時.函數(shù)在上單調(diào)遞減. 當(dāng)時.函數(shù)在上單調(diào)遞增. 綜上所述:當(dāng)時.函數(shù)在上單調(diào)遞減. 當(dāng)時.函數(shù)在上單調(diào)遞減.函數(shù)在上單調(diào)遞增. 例12．已知函數(shù)在點處取得極大值.其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點..如圖所示.求: (Ⅰ)的值, (Ⅱ)的值. [考查目的]本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值, 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力 [解答過程]解法一:(Ⅰ)由圖像可知.在上.在上.在上, 故在上遞增.在上遞減. 因此在處取得極大值.所以 (Ⅱ) 由 得 解得 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)設(shè) 又 所以 由即得 所以 例13．設(shè)是函數(shù)的一個極值點. (Ⅰ)求與的關(guān)系式(用表示).并求的單調(diào)區(qū)間, (Ⅱ)設(shè)..若存在使得成立.求的取值范圍. [考查目的]本小題主要考查函數(shù).不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識.考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力. [解答過程](Ⅰ)f `(x)＝-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x, 由f `(3)=0.得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3＝0.即得b＝-3-2a. 則 f `(x)＝[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x ＝-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x＝-(x-3)(x+a+1)e3-x. 令f `(x)＝0.得x1＝3或x2＝-a-1.由于x＝3是極值點. 所以x+a+1≠0.那么a≠-4. 當(dāng)a<-4時.x2>3＝x1.則 在區(qū)間上.f `(x)<0. f (x)為減函數(shù), 在區(qū)間(3.―a―1)上.f `為增函數(shù), 在區(qū)間(―a―1.+∞)上.f `(x)<0.f (x)為減函數(shù). 當(dāng)a>-4時.x2<3＝x1.則 在區(qū)間(-∞.―a―1)上.f `(x)<0. f (x)為減函數(shù), 在區(qū)間(―a―1.3)上.f `為增函數(shù), 在區(qū)間上.f `(x)<0.f (x)為減函數(shù). 知.當(dāng)a>0時.f (x)在區(qū)間(0.3)上的單調(diào)遞增.在區(qū)間(3.4)上單調(diào)遞減.那么f (x)在區(qū)間[0.4]上的值域是[min.f (4) ).f (3)]. 而f (0)＝-(2a+3)e3<0.f (4)＝(2a+13)e-1>0.f (3)＝a+6. 那么f (x)在區(qū)間[0.4]上的值域是[-(2a+3)e3.a+6]. 又在區(qū)間[0.4]上是增函數(shù). 且它在區(qū)間[0.4]上的值域是[a2+.(a2+)e4]. 由于(a2+)-(a+6)＝a2-a+＝()2≥0.所以只須僅須 (a2+)-(a+6)<1且a>0.解得0<a<. 故a的取值范圍是(0.). 例14 已知函數(shù) 在處取得極大值.在處取得極小值.且． (1)證明, (2)若z=a+2b,求z的取值范圍. [解答過程]求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (Ⅰ)由函數(shù)在處取得極大值.在處取得極小值.知是的兩個根． 所以 當(dāng)時.為增函數(shù)..由.得． (Ⅱ)在題設(shè)下.等價于 即． 化簡得． 此不等式組表示的區(qū)域為平面上三條直線:． 所圍成的的內(nèi)部.其三個頂點分別為:． 在這三點的值依次為． 所以的取值范圍為． 小結(jié):本題的新穎之處在把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與線性 規(guī)劃有機結(jié)合． 考點4 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用 建立函數(shù)模型,利用 典型例題 例15. 用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架.要求長方體的長與寬之比為2:1.問該長方體的長.寬.高各為多少時.其體積最大?最大體積是多少? [考查目的]本小題主要考查函數(shù).導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識.考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力. [解答過程]設(shè)長方體的寬為x(m).則長為2x(m).高為 . 故長方體的體積為 從而 令V′(x)＝0.解得x=0或x=1.因此x=1. 當(dāng)0＜x＜1時.V′(x)＞0,當(dāng)1＜x＜時.V′(x)＜0. 故在x=1處V(x)取得極大值.并且這個極大值就是V(x)的最大值. 從而最大體積V＝V′(x)＝9×12-6×13(m3).此時長方體的長為2 m.高為1.5 m. 答:當(dāng)長方體的長為2 m時.寬為1 m.高為1.5 m時.體積最大.最大體積為3 m3. 例16．統(tǒng)計表明.某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗 油量(升)關(guān)于行駛速度的函數(shù)解析式可以表示為: 已知甲.乙兩地相距100千米. (I)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時.從甲地到乙地要耗油多少升? (II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時.從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升? [考查目的]本小題主要考查函數(shù).導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識.考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力. [解答過程](I)當(dāng)時.汽車從甲地到乙地行駛了小時. 要耗沒(升). 答:當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時.從甲地到乙地耗油17.5升. (II)當(dāng)速度為千米/小時時.汽車從甲地到乙地行駛了小時.設(shè)耗油量為升.依題意得 令得 當(dāng)時.是減函數(shù),當(dāng)時.是增函數(shù). 當(dāng)時.取到極小值 因為在上只有一個極值.所以它是最小值. 答:當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時.從甲地到乙地耗油最少.最少為11.25升. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知，函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

  （Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

  （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項，是前項和，證明：．

【解析】本試題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解函數(shù)給定區(qū)間的最值問題，以及能結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識，表示數(shù)列的前n項和，同時能構(gòu)造函數(shù)證明不等式的數(shù)學(xué)思想。是一道很有挑戰(zhàn)性的試題。

 

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請閱讀下列材料：
若兩個實數(shù)a1，a2滿足a1+a2=1，則
a
2
1
+
a
2
2
≥
1．
2
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22，因為對一切實數(shù)x，f（x）≥O恒成立，所以△=4-4×2（a12+a22）≤0，即
a
2
1
+
a
•2
2
≥
1
2
根據(jù)上述證明方法，若n個實數(shù)a1，a2，…，an滿足a1+a2+…+an=1時，你能得到的不等式為：
 
．

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先閱讀下列不等式的證法：
已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求證：|a1+a2|≤
2
．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，則f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
2
．
再解決下列問題：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求證|a1+a2+a3|≤
3
；
（2）試將上述命題推廣到n個實數(shù)，并證明你的結(jié)論．

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（理科做）
閱讀下面題目的解法，再根據(jù)要求解決后面的問題．
閱讀題目：對于任意實數(shù)a1，a2，b1，b2，證明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
（其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
問題：（1）請用這個不等式證明：對任意正實數(shù)a，b，x，y，不等式
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
成立．
（2）用（1）中的不等式求函數(shù)y=
2
x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值，并指出此時x的值．
（3）根據(jù)閱讀題目的證明，將不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）進行推廣，得到一個更一般的不等式，并用構(gòu)造函數(shù)的方法對你的推廣進行證明．

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先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：
已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求證a12+a22≥
1
2
，
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22
因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a12+a22）≤0，從而得a12+a22≥
1
2
，
（1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，請寫出上述結(jié)論的推廣式；
（2）參考上述解法，對你推廣的結(jié)論加以證明．

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