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2.(2008全國二21)．(本小題滿分12分)

設，函數．

(Ⅰ)若是函數的極值點，求的值；

(Ⅱ)若函數，在處取得最大值，求的取值范圍．

解：(Ⅰ)．

因為是函數的極值點，所以，即，因此．

經驗證，當時，是函數的極值點．············· 4分

(Ⅱ)由題設，．

當在區間上的最大值為時，

，　 即．故得．··············· 9分

反之，當時，對任意，

，

而，故在區間上的最大值為．

綜上，的取值范圍為．······················ 12分

1.(2008全國一21)．(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

已知函數，．

(Ⅰ)討論函數的單調區間；

(Ⅱ)設函數在區間內是減函數，求的取值范圍．

解：(1)

求導：

當時，，

在上遞增

當，求得兩根為

即在遞增，遞減，

遞增

(2)，且 　　解得：

3．理解可導函數的單調性與其導數的關系；了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件(導數在極值點兩側異號)；會求一些實際問題(一般指單峰函數)的最大值和最小值．

2．熟記基本導數公式；掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則．了解復合函數的求導法則，會求某些簡單函數的導數．

導數屬于新增內容，是高中數學知識的一個重要的交匯點，命題范圍非常廣泛，為高考考查函數提供了廣闊天地，處于一種特殊的地位，不但一定出大題而相應有小題出現。主要考查導數有關的概念、計算和應用。利用導數工具研究函數的有關性質，把導數應用于單調性、極值等傳統、常規問題的同時，進一步升華到處理與自然數有關的不等式的證明，是函數知識和不等式知識的一個結合體，它的解題又融合了轉化、分類討論、函數與方程、數形結合等數學思想與方法，不但突出了能力的考查，同時也注意了高考重點與熱點，這一切對考查考生的應用能力和創新意識都大有益處。

1．了解導數概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函數的概念．

(二)考點預測題

1. (2007年山東高考真題模擬試卷八，理科，22)

橢圓G：的兩個焦點F1(－c，0)、F2(c，0)，M是橢圓上的

一點，且滿足

(Ⅰ)求離心率e的取值范圍；

(Ⅱ)當離心率e取得最小值時，點N(0，3)到橢圓上的點的最遠距離為求此時

橢圓G的方程；(ⅱ)設斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q

為AB的中點，問A、B兩點能否關于過點的直線對稱？若能，求出k的取值

范圍；若不能，請說明理由.

[答案](I)設M(x0，y0)

　　　　　　　　 ①

又　 ②

由②得代入①式整理得

又

解得

(Ⅱ)(i)當

設H(x，y)為橢圓上一點，則

若0

由(舍去)

若b≥3，當y=－3時，|HN|2有最大值2b2+18

由2b2+18=50得b2=16

∴所求橢圓方程為

(ii)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，則由

　　　　 　　③

又直線PQ⊥直線l　　 ∴直線PQ方程為

將點Q(x0，y0)代入上式得，　　 ④

由③④得Q

(解1)而Q點必在橢圓內部　

由此得

故當時A、B兩點關于點P、Q的直線對稱.

(解2)∴AB所在直線方程為

由得

顯然1+2k2≠0

而

直線l與橢圓有兩不同的交點A、B　 ∴△＞0

解得

故當時，A、B兩點關于點P、Q的直線對稱。

(ii)另解；設直線l的方程為y=kx+b

由得

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，則

　　　 ③

又直線PQ⊥直線l　　 ∴直線PQ方程為

將點Q(x0，y0)代入上式得，　　 ④

將③代入④⑤

∵x1，x2是(*)的兩根

⑥

⑤代入⑥得

∴當時，A、B兩點關于點P、Q的直線對稱

2．(2007年山東高考真題模擬試卷十一，理科，22)

雙曲線M的中心在原點，并以橢圓的焦點為焦點，以拋物線的

準線為右準線.

(Ⅰ)求雙曲線M的方程；

(Ⅱ)設直線： 與雙曲線M相交于A、B兩點，O是原點.

① 當為何值時，使得?

② 是否存在這樣的實數,使A、B兩點關于直線對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

[答案](Ⅰ)易知，橢圓的半焦距為：，

　又拋物線的準線為：.

設雙曲線M的方程為，依題意有，

故，又.

∴雙曲線M的方程為.

(Ⅱ)設直線與雙曲線M的交點為、兩點

聯立方程組 消去y得　 ，

∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根， ∴

∴，從而有

，.

又，

∴.

① 若，則有 ，即 .

∴當時，使得.

② 若存在實數,使A、B兩點關于直線對稱，則必有 ，

因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；

當時，由 得

∵A、B中點在直線上，

∴ 代入上式得

；又， ∴

將代入并注意到，得 .

∴當時，存在實數，使A、B兩點關于直線對稱.

3．(2008年山東卷，理科，22)

如圖，設拋物線方程為為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為

(I)求證：三點的橫坐標成等差數列；

(II)已知當點的坐標為時，求此時拋物線的方程；

(III)是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中點滿足(為坐標原點)。若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由。

[答案](I)證明：由題意設，，

，

所以三點的橫坐標成等差數列。

(II)解：由(I)知，

所以是方程的兩根，

或

因此所求拋物線方程為或

(III)解：設由題意得，則中點坐標為

設直線的方程為

與都在上，代入得.

若在拋物線上，則即.

1)當

2)當

(1)對于

矛盾.

(2)對于，，則與軸平行，而直線不垂直矛盾。

綜上可知，僅存在一點適合題意.

(一)文字介紹

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，也是高考命題的熱點之一.高考對圓錐曲線的考查，總體上是以知識應用和問題探究為主，一般是給出曲線方程，討論曲線的基本元素和簡單的幾何性質；或給出曲線滿足的條件，判斷(求)其軌跡；或給出直線與曲線、曲線與曲線的位置關系，討論與其有關的其他問題(如直線的方程、直線的條數、弦長、曲線中參變量的取值范圍等)；或考查圓錐曲線與其他知識綜合(如不等式、函數、向量、導數等)的問題等.

8. (遼寧省撫順一中2009屆高三第一次模擬考試，理科，21)

橢圓ax2+by2 =1與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，若|AB|=2，線段AB的中點為C，且OC的斜率為，求橢圓方程.

[解析]聯立直線與橢圓方程，根據一元二次方程根與系數關系、中點坐標公式、斜率公式求出a，b的關系，再由弦長公式求出a，b的值，即得所求橢圓的方程.

[答案]∴(a+b)x2 -2bx+b-1=0

∴

C()

KOC =∴b=a，

代入|AB|=2，即：(1+k2)[(x1+x2)2-4 x1x2]=8

a=，b=

∴橢圓方程為：x2+y2 =1

7. (江蘇省鹽城一中、大豐中學、建湖中學2009屆高三第二次調研考試， 21)

拋物線的準線的方程為，該拋物線上的每個點到準線的距離都與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線 相切的圓，

(Ⅰ)求定點N的坐標；

(Ⅱ)是否存在一條直線同時滿足下列條件：

① 分別與直線交于A、B兩點，且AB中點為；

② 被圓N截得的弦長為．

[解析](1)由拋物線的定義易得；

(2)假設存在直線，設出直線的方程為，.

方法1：由弦心距的長為1求出的值，然后檢驗是否符合AB中點為這個條件；

方法2：將直線的方程分別與直線的方程聯立，求出A、B兩點的坐標，再由中點坐標公式求出的值，最后檢驗弦心距的長是否為1；

方法3：設出A點的坐標為，由中點坐標公式和B點在上，求出的值，進而求出直線的斜率，最后檢驗弦心距的長是否為1.

[答案](1)因為拋物線的準線的方程為

所以，根據拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點，

所以定點N的坐標為

(2)假設存在直線滿足兩個條件，顯然斜率存在，

設的方程為，

以N為圓心，同時與直線 相切的圓N的半徑為，

方法1：因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，

即，解得，

當時，顯然不合AB中點為的條件，矛盾！

當時，的方程為

由，解得點A坐標為，

由，解得點B坐標為，

顯然AB中點不是，矛盾！

所以不存在滿足條件的直線．

方法2：由，解得點A坐標為，

由，解得點B坐標為，

因為AB中點為，所以，解得，

所以的方程為，

圓心N到直線的距離，

因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！

所以不存在滿足條件的直線．

方法3：假設A點的坐標為，

因為AB中點為，所以B點的坐標為，

又點B 在直線上，所以，

所以A點的坐標為，直線的斜率為4，

所以的方程為，

圓心N到直線的距離，

因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！

所以不存在滿足條件的直線．

6. (山東省文登市2009屆高三第三次月考試題，理科，21)

過點作傾斜角為的直線，交拋物線：于兩點，且

成等比數列。⑴求的方程；⑵過點的直線與曲線交于

兩點。設，與的夾角為，

求證：。

[解析]⑴設，聯立直線與拋物線的方程

后根據一元二次方程根與系數關系可得到關于的方程，解之即得

的方程；⑵法一：要證，只需證明即可.

法二：根據“以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切”這一性質分兩種情況討論即可得證.

[答案]⑴設，則由題，由得，故。

又根據可得，即，代入可得，解得(舍負)。故的方程為；

⑵法一：設，代入得，故，

從而

，因此

法二：顯然點是拋物線的焦點，點是其準線上一點。設為的中點，過分別作的垂線，垂足分別為，則。因此以為直徑的圓與準線相切(于點)。若與重合，則。否則點在外，因此。綜上知。