5.(天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué))
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
(Ⅰ)判斷的奇偶性;
(Ⅱ)在上求函數(shù)
的極值;
(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時,對任意正整數(shù)
都有
解:(Ⅰ) 。……3分
(Ⅱ)當(dāng)時,
………5分
令有
,
當(dāng)x變化時的變化情況如下表: 由表可
知:
![]() |
![]() |
![]() |
(![]() |
![]() |
+ |
0 |
- |
![]() |
增 |
極大值 |
減 |
當(dāng)時
取極大值
. ………7分
(Ⅲ)當(dāng)時
………8分
考慮到:時,不等式
等價于
…(1)
所以只要用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)對一切都成立即可………9分
(i)當(dāng)時,設(shè)
, ………10分
故,即
所以,當(dāng)時,不等式(1)都成立
………11分
(ii)假設(shè)時,不等式(1)都成立,即
當(dāng)時設(shè)
有 ………12分
故為增函數(shù),
所以,,即
, ………13分
這說明當(dāng)時不等式(1)也都成立,
根據(jù)(i)(ii)可知不等式(1)對一切都成立,
故原不等式對一切都成立.
………14分
4.已知函數(shù)
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,
,且
.
(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)證明:;
(Ⅲ)探究:數(shù)列是否單調(diào)?
解:(Ⅰ)∵,∴
.
∵=
,(2分)
∴當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞減.
∴在區(qū)間內(nèi),
.(2分)
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:
① 當(dāng)時,
∵
,∴
,
成立;
② 假設(shè)當(dāng)時,
成立.
當(dāng)時,由
及
,得
,(2分)
由(Ⅰ) 知,在
上單調(diào)遞增,所以
,
而,
,
故
.
∴當(dāng)時,
也成立.
由①、②知,對任意
都成立.(4分)
(Ⅲ)數(shù)列單調(diào)遞減.(1分)
理由如下:
當(dāng)時,
∴
;
當(dāng)時,由
得
.
∵,(2分)
又由 (Ⅱ) 知,,∴
,
∴,即
∴,
∴,∴
.(3分)
綜上,數(shù)列單調(diào)遞減.
3.(浙江省重點(diǎn)中學(xué)2008年5月)
已知函數(shù)
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,
,且
.
(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)證明:;
(Ⅲ)探究:數(shù)列是否單調(diào)?
解:(Ⅰ)∵,∴
.
∵=
,(2分)
∴當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞減.
∴在區(qū)間內(nèi),
.(2分)
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:
① 當(dāng)時,
∵
,∴
,
成立;
② 假設(shè)當(dāng)時,
成立.
當(dāng)時,由
及
,得
,(2分)
由(Ⅰ) 知,在
上單調(diào)遞增,所以
,
而,
,
故
.
∴當(dāng)時,
也成立.
由①、②知,對任意
都成立.(4分)
(Ⅲ)數(shù)列單調(diào)遞減.(1分)
理由如下:
當(dāng)時,
∴
;
當(dāng)時,由
得
.
∵,(2分)
又由 (Ⅱ) 知,,∴
,
∴,即
∴,
∴,∴
.(3分)
綜上,數(shù)列單調(diào)遞減.
2.(湖南師大附中)(本小題滿分14分)已知函數(shù)
(Ⅰ)試判斷函數(shù)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)若恒成立,求整數(shù)k的最大值;
(Ⅲ)求證:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3.
.解:(I)…………(2分)
上是減函數(shù).……………………………………………………(4分)
(II)
即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………(6分)
則上單調(diào)遞增,
又
存在唯一實(shí)根a,且滿足
當(dāng)
∴
故正整數(shù)k的最大值是3 ……………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
∴ ………………11分
令,則
∴l(xiāng)n(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3 ………………14分
1.(2008年濰坊市高三統(tǒng)一考試)
定義在的三個函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)=
,且g(x)在[1,2]為增函數(shù),h(x)在(0,1)為減函數(shù).
(I)求g(x),h(x)的表達(dá)式;
(II)求證:當(dāng)1<x< 時,恒有
(III)把h(x)對應(yīng)的曲線向上平移6個單位后得曲線
,求
與g(x)對應(yīng)曲線
的交點(diǎn)個數(shù),并說明道理.
解(I)由題意:
∴恒成立.
又恒成立.
∴即
(II)
欲證:
只需證:
即證:
記
∴
∴當(dāng)x>1時,為增函數(shù)…………….9分
即
∴結(jié)論成立………………………………………………..10分
(III)由 (1)知:
∴對應(yīng)表達(dá)式為
∴問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)
即求方程:
即:
設(shè)
∴當(dāng)
時,
為減函數(shù).
當(dāng)
時,
為增函數(shù).
而的圖象開口向下的拋物線
∴與
的大致圖象如圖:
∴與
的交點(diǎn)個數(shù)為2個.
即與
的交點(diǎn)個數(shù)為2個.
7.(2008福建卷19)(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,其中a1=3.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,求證:點(diǎn)(n,Sn)也在y=f′(x)的圖象上;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)的極值.
本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識,考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
(Ⅰ)證明:因?yàn)?sub>所以
′(x)=x2+2x,
由點(diǎn)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,
又所以
所以,又因?yàn)?sub>
′(n)=n2+2n,所以
,
故點(diǎn)也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上.
(Ⅱ)解:,
由得
.
當(dāng)x變化時,﹑
的變化情況如下表:
x |
(-∞,-2) |
-2 |
(-2,0) |
0 |
(0,+∞) |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↗ |
極大值 |
↘ |
極小值 |
↗ |
注意到,從而
①當(dāng),此時
無極小值;
②當(dāng)的極小值為
,此時
無極大值;
③當(dāng)既無極大值又無極小值.
6.(2008重慶卷20)(本小題滿分13分.(Ⅰ)小問5分.(Ⅱ)小問8分.)
設(shè)函數(shù)曲線y=f(x)通過點(diǎn)(0,2a+3),且在點(diǎn)(-1,f(-1))
處的切線垂直于y軸.
(Ⅰ)用a分別表示b和c;
(Ⅱ)當(dāng)bc取得最小值時,求函數(shù)g(x)=-f(x)e-x的單調(diào)區(qū)間.
解:(Ⅰ)因?yàn)?sub>
又因?yàn)榍通過點(diǎn)(0,2a+3),
故
又曲線在(-1,f(-1))處的切線垂直于y軸,故
即-2a+b=0,因此b=2a.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故當(dāng)時,
取得最小值-
.
此時有
從而
所以
令,解得
當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
由此可見,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2)和(2,+∞);單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2).
5..(2008陜西卷21).(本小題滿分12分)
已知函數(shù)(
且
,
)恰有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn),其中一個是
.
(Ⅰ)求函數(shù)的另一個極值點(diǎn);
(Ⅱ)求函數(shù)的極大值
和極小值
,并求
時
的取值范圍.
解:(Ⅰ),由題意知
,
即得,(*)
,
.
由得
,
由韋達(dá)定理知另一個極值點(diǎn)為(或
).
(Ⅱ)由(*)式得,即
.
當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
.
(i)當(dāng)時,
在
和
內(nèi)是減函數(shù),在
內(nèi)是增函數(shù).
,
,
由及
,解得
.
(ii)當(dāng)時,
在
和
內(nèi)是增函數(shù),在
內(nèi)是減函數(shù).
,
恒成立.
綜上可知,所求的取值范圍為
.
4..(2008湖南卷21)(本小題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)-.
(I) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式對任意的
都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).
求的最大值.
解: (Ⅰ)函數(shù)的定義域是
,
設(shè)則
令則
當(dāng)時,
在(-1,0)上為增函數(shù),
當(dāng)x>0時,在
上為減函數(shù).
所以h(x)在x=0處取得極大值,而h(0)=0,所以,
函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).
于是當(dāng)時,
當(dāng)x>0時,
所以,當(dāng)時,
在(-1,0)上為增函數(shù).
當(dāng)x>0時,在
上為減函數(shù).
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為
.
(Ⅱ)不等式等價于不等式
由
知,
設(shè)
則
由(Ⅰ)知,即
所以于是G(x)在
上為減函數(shù).
故函數(shù)G(x)在上的最小值為
所以a的最大值為
3.(2008山東卷21)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時,有f(x)≤x-1.
(Ⅰ)解:由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>1},
當(dāng)n=2時,
所以
(1)當(dāng)a>0時,由f(x)=0得
>1,
<1,
此時 f′(x)=.
當(dāng)x∈(1,x1)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x1+∞)時,f′(x)>0, f(x)單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)a≤0時,f′(x)<0恒成立,所以f(x)無極值.
綜上所述,n=2時,
當(dāng)a>0時,f(x)在處取得極小值,極小值為
當(dāng)a≤0時,f(x)無極值.
(Ⅱ)證法一:因?yàn)?i>a=1,所以
當(dāng)n為偶數(shù)時,
令
則 g′(x)=1+>0(x≥2).
所以當(dāng)x∈[2,+∞]時,g(x)單調(diào)遞增,
又 g(2)=0
因此≥g(2)=0恒成立,
所以f(x)≤x-1成立.
當(dāng)n為奇數(shù)時,
要證≤x-1,由于
<0,所以只需證ln(x-1) ≤x-1,
令 h(x)=x-1-ln(x-1),
則 h′(x)=1-≥0(x≥2),
所以 當(dāng)x∈[2,+∞]時,單調(diào)遞增,又h(2)=1>0,
所以當(dāng)x≥2時,恒有h(x) >0,即ln(x-1)<x-1命題成立.
綜上所述,結(jié)論成立.
證法二:當(dāng)a=1時,
當(dāng)x≤2,時,對任意的正整數(shù)n,恒有≤1,
故只需證明1+ln(x-1) ≤x-1.
令
則
當(dāng)x≥2時,≥0,故h(x)在
上單調(diào)遞增,
因此 當(dāng)x≥2時,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1) ≤x-1成立.
故 當(dāng)x≥2時,有≤x-1.
即f(x)≤x-1.
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