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5.(天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué))                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)

(Ⅰ)判斷的奇偶性;

(Ⅱ)在上求函數(shù)的極值;

(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時,對任意正整數(shù)都有

解:(Ⅰ) 。……3分

(Ⅱ)當(dāng)時, 

          ………5分

   當(dāng)x變化時的變化情況如下表:  由表可

知:




(

+
0



極大值

當(dāng)取極大值.              ………7分

(Ⅲ)當(dāng)       ………8分

 考慮到:時,不等式等價于…(1)

 所以只要用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)對一切都成立即可………9分

(i)當(dāng)時,設(shè)

,       ………10分

,即

所以,當(dāng)時,不等式(1)都成立             ………11分

(ii)假設(shè)時,不等式(1)都成立,即

 當(dāng)時設(shè)

 有  ………12分

 故為增函數(shù),

 所以,,即,   ………13分

這說明當(dāng)時不等式(1)也都成立,

根據(jù)(i)(ii)可知不等式(1)對一切都成立,

故原不等式對一切都成立.                 ………14分

試題詳情

4.已知函數(shù),數(shù)列的前項(xiàng)和為,且

(Ⅰ)求的最大值;

(Ⅱ)證明:

(Ⅲ)探究:數(shù)列是否單調(diào)?

解:(Ⅰ)∵,∴

=,(2分)

∴當(dāng)時,上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,上單調(diào)遞減.

∴在區(qū)間內(nèi),.(2分)

(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:

 ① 當(dāng)時, ∵,∴成立;

② 假設(shè)當(dāng)時,成立.

當(dāng)時,由,得,(2分)

由(Ⅰ) 知,上單調(diào)遞增,所以

, 故

∴當(dāng)時,也成立.

由①、②知,對任意都成立.(4分)

(Ⅲ)數(shù)列單調(diào)遞減.(1分)

理由如下:

當(dāng)時,

當(dāng)時,由

,(2分)

又由 (Ⅱ) 知,,∴

,即

,∴.(3分)

綜上,數(shù)列單調(diào)遞減.

試題詳情

3.(浙江省重點(diǎn)中學(xué)2008年5月)

已知函數(shù),數(shù)列的前項(xiàng)和為,且

(Ⅰ)求的最大值;

(Ⅱ)證明:

(Ⅲ)探究:數(shù)列是否單調(diào)?

解:(Ⅰ)∵,∴

=,(2分)

∴當(dāng)時,上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,上單調(diào)遞減.

∴在區(qū)間內(nèi),.(2分)

(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:

 ① 當(dāng)時, ∵,∴成立;

② 假設(shè)當(dāng)時,成立.

當(dāng)時,由,得,(2分)

由(Ⅰ) 知,上單調(diào)遞增,所以

, 故

∴當(dāng)時,也成立.

由①、②知,對任意都成立.(4分)

(Ⅲ)數(shù)列單調(diào)遞減.(1分)

理由如下:

當(dāng)時,

當(dāng)時,由

,(2分)

又由 (Ⅱ) 知,,∴

,即

,∴.(3分)

綜上,數(shù)列單調(diào)遞減.

試題詳情

2.(湖南師大附中)(本小題滿分14分)已知函數(shù)

  (Ⅰ)試判斷函數(shù)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;

  (Ⅱ)若恒成立,求整數(shù)k的最大值;

  (Ⅲ)求證:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3.

.解:(I)…………(2分)

  

   上是減函數(shù).……………………………………………………(4分)

   (II)

   即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………(6分)

  

   則上單調(diào)遞增,

   又

   存在唯一實(shí)根a,且滿足

當(dāng)

故正整數(shù)k的最大值是3   ……………………9分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

  ………………11分

,則

∴l(xiāng)n(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]

∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3  ………………14分

試題詳情

1.(2008年濰坊市高三統(tǒng)一考試)

定義在的三個函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)= ,且g(x)在[1,2]為增函數(shù),h(x)在(0,1)為減函數(shù).

(I)求g(x),h(x)的表達(dá)式;

(II)求證:當(dāng)1<x< 時,恒有

(III)把h(x)對應(yīng)的曲線向上平移6個單位后得曲線,求與g(x)對應(yīng)曲線的交點(diǎn)個數(shù),并說明道理.

解(I)由題意:

恒成立.

恒成立.

(II)

欲證:

只需證:

即證:

∴當(dāng)x>1時,為增函數(shù)…………….9分

∴結(jié)論成立………………………………………………..10分

(III)由 (1)知:

對應(yīng)表達(dá)式為

∴問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)

即求方程:

即:

設(shè)

∴當(dāng)時,為減函數(shù).

當(dāng)時,為增函數(shù).

的圖象開口向下的拋物線

的大致圖象如圖:

的交點(diǎn)個數(shù)為2個.

的交點(diǎn)個數(shù)為2個.

試題詳情

7.(2008福建卷19)(本小題滿分12分)

  已知函數(shù).

 (Ⅰ)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,其中a1=3.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,求證:點(diǎn)(n,Sn)也在y=f′(x)的圖象上;

 (Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)的極值.

本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識,考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題和解決問題的能力.滿分12分.

   (Ⅰ)證明:因?yàn)?sub>所以′(x)=x2+2x,

   由點(diǎn)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,

   又所以

   所以,又因?yàn)?sub>′(n)=n2+2n,所以,

   故點(diǎn)也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上.

(Ⅱ)解:,

.

當(dāng)x變化時,的變化情況如下表:

x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)

極大值

極小值

注意到,從而

①當(dāng),此時無極小值;

②當(dāng)的極小值為,此時無極大值;

③當(dāng)既無極大值又無極小值.

試題詳情

6.(2008重慶卷20)(本小題滿分13分.(Ⅰ)小問5分.(Ⅱ)小問8分.)

  設(shè)函數(shù)曲線y=f(x)通過點(diǎn)(0,2a+3),且在點(diǎn)(-1,f(-1))

處的切線垂直于y軸.

(Ⅰ)用a分別表示bc

(Ⅱ)當(dāng)bc取得最小值時,求函數(shù)g(x)=-f(x)e-x的單調(diào)區(qū)間.

解:(Ⅰ)因?yàn)?sub>

     又因?yàn)榍通過點(diǎn)(0,2a+3),

     故

     又曲線在(-1,f(-1))處的切線垂直于y軸,故

     即-2a+b=0,因此b=2a.

   (Ⅱ)由(Ⅰ)得

     故當(dāng)時,取得最小值-.

     此時有

     從而

    

     所以

     令,解得

      當(dāng)

     當(dāng)

     當(dāng)

     由此可見,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2)和(2,+∞);單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2).

試題詳情

5..(2008陜西卷21).(本小題滿分12分)

已知函數(shù)()恰有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn),其中一個是

(Ⅰ)求函數(shù)的另一個極值點(diǎn);

(Ⅱ)求函數(shù)的極大值和極小值,并求的取值范圍.

解:(Ⅰ),由題意知

即得,(*)

由韋達(dá)定理知另一個極值點(diǎn)為(或).

(Ⅱ)由(*)式得,即

當(dāng)時,;當(dāng)時,

(i)當(dāng)時,內(nèi)是減函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù).

,解得

(ii)當(dāng)時,內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).

恒成立.

綜上可知,所求的取值范圍為

試題詳情

4..(2008湖南卷21)(本小題滿分13分)

已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)-.

(I)  求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若不等式對任意的都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).

的最大值.

解: (Ⅰ)函數(shù)的定義域是

設(shè)

當(dāng)時,  在(-1,0)上為增函數(shù),

當(dāng)x>0時,上為減函數(shù).

所以h(x)在x=0處取得極大值,而h(0)=0,所以

函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).

于是當(dāng)時,

當(dāng)x>0時,

所以,當(dāng)時,在(-1,0)上為增函數(shù).

當(dāng)x>0時,上為減函數(shù).

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為.

(Ⅱ)不等式等價于不等式知,

  設(shè)

由(Ⅰ)知,

所以于是G(x)在上為減函數(shù).

故函數(shù)G(x)在上的最小值為

所以a的最大值為

試題詳情

3.(2008山東卷21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;

(Ⅱ)當(dāng)a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時,有f(x)≤x-1.

(Ⅰ)解:由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>1},

    當(dāng)n=2時,

   所以 

(1)當(dāng)a>0時,由f(x)=0得

>1,<1,

此時  f′(x)=.

當(dāng)x∈(1,x1)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(x1+∞)時,f′(x)>0, f(x)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)a≤0時,f′(x)<0恒成立,所以f(x)無極值.

綜上所述,n=2時,

當(dāng)a>0時,f(x)在處取得極小值,極小值為

當(dāng)a≤0時,f(x)無極值.

(Ⅱ)證法一:因?yàn)?i>a=1,所以

      當(dāng)n為偶數(shù)時,

則 g′(x)=1+>0(x≥2).

所以當(dāng)x∈[2,+∞]時,g(x)單調(diào)遞增,

又  g(2)=0

因此≥g(2)=0恒成立,

     所以f(x)≤x-1成立.

當(dāng)n為奇數(shù)時,

     要證≤x-1,由于<0,所以只需證ln(x-1) ≤x-1,

     令   h(x)=x-1-ln(x-1),

     則   h′(x)=1-≥0(x≥2),

     所以  當(dāng)x∈[2,+∞]時,單調(diào)遞增,又h(2)=1>0,

    所以當(dāng)x≥2時,恒有h(x) >0,即ln(x-1)<x-1命題成立.

綜上所述,結(jié)論成立.

證法二:當(dāng)a=1時,

     當(dāng)x≤2,時,對任意的正整數(shù)n,恒有≤1,

     故只需證明1+ln(x-1) ≤x-1.

     令

     則

     當(dāng)x≥2時,≥0,故h(x)在上單調(diào)遞增,

     因此 當(dāng)x≥2時,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1) ≤x-1成立.

     故 當(dāng)x≥2時,有x-1.

     即f(x)≤x-1.

試題詳情


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