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考點一：利用向量證明垂直

1．山東省淄博市2008年5月高三模擬試題(本小題滿分分)

已知梯形中，∥，，　 ，、分別是、上的點，∥，，是的中點.沿將梯形翻折，使平面⊥平面 (如圖) .

(Ⅰ) 當時，求證：⊥ ；

(Ⅱ) 若以、、、為頂點的三棱錐的體積

記為 ，求的最大值；

(Ⅲ)當取得最大值時，求二面角的余弦值.

解:(Ⅰ)(法一)作于，連，　

由平面平面知　 平面

而平面，故又四邊形

為正方形　　　　　　 ∴　　

又，故平面　

而平面　　 ∴　 .　　　

(或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果)

(法二)∵　 平面平面

　 ∴　⊥面平面

∴ ⊥, ⊥,又⊥

故可如圖建立空間坐標系．則，，　

∴　

∴　 　.　

(Ⅱ) ∵　，面面　

∴ 面

又由(Ⅰ)平面　 ∴　 　　　　

所以 ＝

即時有最大值為．

(Ⅲ)(法一)作于，作，連

由三垂線定理知

∴　 是二面角的平面

角的補角　　

由∽，知

而，

∴　　又

∴　在中，

因為∠是銳角　 ∴∠＝　

而∠是二面角的平面角的補角

故二面角的余弦值為－.

(法二)設(shè)平面的法向量為

∵　 ,，，　

∴　 　

則　　 即

取 　則 　　∴　 　

面的一個法向量為

則<> 　

由于所求二面角的平面角為鈍角

所以，此二面角的余弦值為－.　

考點二、利用向量求二面角

5.2008湖南卷17.(本小題滿分12分)

　　 如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

　 (Ⅰ)證明：平面PBE⊥平面PAB;

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.

解: 解法一(Ⅰ)如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，

△BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE⊥CD,又AB∥CD,

所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以

PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.

過點A作AH⊥PB于H，由(Ⅰ)知

平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，

所以，AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.

則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，

PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(銳角).

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是

解法二: 如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關(guān)各點的坐標分別是A(0，0，0)，B(1，0，0)，

P(0，0，2),

(Ⅰ)因為，

平面PAB的一個法向量是，

所以共線.從而BE⊥平面PAB.

又因為平面PBE，

故平面PBE⊥平面PAB.

　 (Ⅱ)易知　

　　　 設(shè)是平面PBE的一個法向量，則由得

所以

　　　 設(shè)是平面PAD的一個法向量，則由得

所以故可取

　　　 于是，

　　　 故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是

4.2008陜西卷19．(本小題滿分12分)

三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，，平面，，，，，．

(Ⅰ)證明：平面平面；

(Ⅱ)求二面角的大小．

解法一：(Ⅰ)平面平面，

．在中，，

，，又，

，，即．

又，平面，

平面，平面平面．

(Ⅱ)如圖，作交于點，連接，

由已知得平面．

是在面內(nèi)的射影．

由三垂線定理知，

為二面角的平面角．

過作交于點，

則，，

．

在中，．

在中，．

，

即二面角為．

解法二：(Ⅰ)如圖，建立空間直角坐標系，

則，

，．

點坐標為．

，．

，，，，又，

平面，又平面，平面平面．

(Ⅱ)平面，取為平面的法向量，

設(shè)平面的法向量為，則．

，

如圖，可取，則，

，

即二面角為．

3.2008遼寧卷19．(本小題滿分12分)

如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BQ=b(0<b<1)，截面PQEF∥，截面PQGH∥．

(Ⅰ)證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

(Ⅱ)證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，

并求出這個值；

(Ⅲ)若與平面PQEF所成的角為，求與平

面PQGH所成角的正弦值．

本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與邏輯思維能力。滿分12分．

解法一：

(Ⅰ)證明：在正方體中，，，又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．······· 4分

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

，是定值．···················· 8分

(III)解：連結(jié)BC′交EQ于點M．

因為，，

所以平面和平面PQGH互相平行，因此與平面PQGH所成角與與平面所成角相等．

與(Ⅰ)同理可證EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM與的比值就是所求的正弦值．

設(shè)交PF于點N，連結(jié)EN，由知

．

因為⊥平面PQEF，又已知與平面PQEF成角，

所以，即，

解得，可知E為BC中點．

所以EM=，又，

故與平面PQCH所成角的正弦值為．··············· 12分

解法二：

以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系D－xyz由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

(Ⅰ)證明：在所建立的坐標系中，可得

，

，

．

因為，所以是平面PQEF的法向量．

因為，所以是平面PQGH的法向量．

因為，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．····················· 4分

(Ⅱ)證明：因為，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．

在所建立的坐標系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．·············· 8分

(Ⅲ)解：由已知得與成角，又可得

　　　　　　　　　　　　 ，

即，解得．

所以，又，所以與平面PQGH所成角的正弦值為

．····················· 12分

2.2008江蘇卷16．在四面體ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分別是AB,BD 的中點，

求證：(Ⅰ)直線EF ∥面ACD ；

(Ⅱ)面EFC⊥面BCD ．

[解析]本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定．

(Ⅰ)∵ E,F 分別是AB,BD 的中點，

∴EF 是△ABD 的中位線，∴EF∥AD，

∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直線EF∥面ACD ．

(Ⅱ)∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.

∵CB=CD, F 是BD的中點，∴CF⊥BD.

又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．

江西卷．解 ：(1)證明：依題設(shè)，是的中位線，所以∥，

則∥平面，所以∥。

又是的中點，所以⊥，則⊥。

因為⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面。　　　　　　

(2)作⊥于，連。因為⊥平面，

根據(jù)三垂線定理知，⊥，

就是二面角的平面角。

作⊥于，則∥，則是的中點，則。

設(shè)，由得，，解得，

在中，，則，。

所以，故二面角為。

解法二：(1)以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

(2)由已知設(shè)

則

由與共線得:存在有得

同理:

設(shè)是平面的一個法向量,

則令得　

又是平面的一個法量

所以二面角的大小為

(3)由(2)知，，，平面的一個法向量為。

則。

則點到平面的距離為

1．2008山東卷(20)(本小題滿分12分)

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點.

(Ⅰ)證明：AE⊥PD;

(Ⅱ)若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E-AF-C的余弦值.

(Ⅰ)證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.

因為　　　 E為BC的中點，所以AE⊥BC.

　　 又　 BC∥AD，因此AE⊥AD.

因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而　　 PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以　 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

(Ⅱ)解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH.

由(Ⅰ)知　 AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以　 當AH最短時，∠EHA最大，

即　　 當AH⊥PD時，∠EHA最大.

此時　　 tan∠EHA=

因此　 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以　　 PA=2.

解法一：因為　 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

　　　　 所以　 平面PAC⊥平面ABCD.

　　　　 過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，

　　　　 過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，

　　　 在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,

　　　 又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,

　　　 又　　

　　　 在Rt△ESO中，cos∠ESO=

　　　 即所求二面角的余弦值為

解法二：由(Ⅰ)知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E、F分別為BC、PC的中點，所以

E、F分別為BC、PC的中點，所以

A(0，0，0)，B(，-1，0)，C(C，1，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(，0，0)，F(xiàn)()，

所以　　

設(shè)平面AEF的一法向量為

則　　　 因此

取

因為 　BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以　 BD⊥平面AFC，

故　　 為平面AFC的一法向量.

又　　 =(-)，

所以　 cos＜m, ＞=

因為　 二面角E-AF-C為銳角，

所以所求二面角的余弦值為

4．利用向量處理距離問題

　立體幾何中涉及到距離的問題比較多，如兩點的距離、點與線的距離、點與面的距離、線與面的距離、兩異面直線的距離問題等等，它是數(shù)學(xué)學(xué)習中的一個難點。此部分若用向量來處理，則思路較為簡單，方法較為因定。

(1)利用可以求有關(guān)距離問題；

(2)設(shè)是直線上的一個單位方向向量，線段AB在上的投影是，則有｜｜＝，由此可求點到線，點到面的距離。

3．利用向量處理角度問題

在立體幾何中，涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計算，均可歸結(jié)為兩個向量的夾角。對于空間向量，有，利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問題。

　求異面直線所成的角的關(guān)鍵在于求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，可以求兩向量的坐標，也可以把所求向量用一組基向量表示，兩向量的夾角范圍是，而兩異面直線所成角的范圍是，應(yīng)注意加以區(qū)分。

　　直線與平面的夾角，是直線的方向向量與平面的法向量的夾角(銳角)的余角，故有：，。

設(shè)分別是二面角的面的法向量，則＜＞就是所求二面角的平面角或其補角的大小。

2．利用向量處理垂直問題

　空間的線線、線面、面面垂直關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為空間內(nèi)的兩個向量垂直問題來解決。

(1)設(shè)分別為直線的一個方向向量，那么；

(2)設(shè)分別為平面的一個法向量，那么；

(3)設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，那么。

1．利用向量處理平行問題

　空間圖形的平行關(guān)系包括直線與直線的平行，直線與平面的平行，平面與平面的平行，它們都可以用向量方法來研究。方法如下：

(1)設(shè)是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為，那么。根據(jù)實數(shù)與向量積的定義：。

(2)平面與平面平行可以轉(zhuǎn)化兩個平面的法向量平行：設(shè)兩個不重合的平面的法向量分別為，那么。

(3)直線與平面平行可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面與平面的法向量垂直：設(shè)直線在平面外，是的一個方向向量，是平面的一個法向量，那么。

(4)平面表示以為方向向量的直線與向量平行或在平面內(nèi)，因此也可以由共面向量定理證明線面平行問題。