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5．(南通四縣市2008屆高三聯合考試，數學，17)如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB= AD=2．

(1)證明：面BDD₁ B₁⊥面ACD₁；

(2)若E是BC₁的中點，P是AC的中點，F是A₁C₁上的點， C₁F=mFA₁，試求m的值，使得EF∥D₁P．

[解析]本題考查面面垂直的證明，以及線線垂直的探究

[答案]證明(1)：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB= AD=2，

故四邊形ABCD是正方形，AP⊥DP，

又∵D₁D⊥面ABCD，AP面ABCD

∴D₁D⊥AP ，D₁D∩DP=D

∴AP⊥面BDD₁B₁　

∵AP面AD₁C

∴面BDB₁D₁⊥面ACD₁　　　　　　　

(2)：記A₁C₁與B₁D₁的交點為Q，連BQ，

∵P是AC的中點，∴D₁P∥BQ，要使得EF∥D₁P，則必有EF∥BQ

在△QBC₁中，E是BC₁的中點， F是QC₁上的點，EF∥BQ

∴F是QC₁的中點，即3C₁F=FA₁，故所求m的值是． 　　

4．(廣東省中山市2009年四校聯考數學，數學理科，5)給出下列關于互不相同的直線 和平面 的四個命題：

　　 ①若；

　　 ②若是異面直線，；

　　 ③若；

　　 ④若

　　 其中為假命題的是　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．①　 　B．②　　 C．③　　　　　　 D．④

[解析]本題考查線線，線面及面面位置關系的判定

[答案]C

3．(山東省濰坊市2008年5月高三教學質量檢測，數學理科，12)如圖，ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連結AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面有(　　 )對

　　 A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　　

C．3　　　　　　　 D．4

[解析]本題考查圖形的翻折，和面面垂直的判定，顯然面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，

[答案]C

2．(寧夏區銀川一中2008屆高三年級第五次月考測試，數學理科，12)如圖，一個幾何體的正視圖和側視圖是腰長為1的等腰三角形，俯視圖是一個圓及其圓心，當這個幾何體的體積最大時圓的半徑是 (　　 )

　　　 A．　　　 B．　　 C．　　 D．

[解析]本題考查三視圖及椎體的體積計算。設底面半徑為，高位，又，則，當即時，體積最大。

[答案]C

1．(山東省煙臺市2008年高三適應性練習(三)，數學理科，6)已知直線則下列四個命題：

　　 ①;　　　　　　　　　 ②;

　　 ③;　　　　　　　　　 ④　

其中正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．①②　　　　　 B．③④　　　　　 C．②④　　　　　 D．①③

[解析]本題考查線面位置關系的判斷，②④顯然不正確

[答案]D

7．(2008年山東卷，數學理科，20)如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點.

(Ⅰ)證明：AE⊥PD;

(Ⅱ)若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E-AF-C的余弦值.

[解析]本題考查線線垂直的證明，和二面角的求法，理科生應學會利用空間向量解決問題。

[答案](Ⅰ)證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因為為的中點，所以．

又，因此．

因為平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，所以．

(Ⅱ)解：設，為上任意一點，連接．

由(Ⅰ)知平面，

則為與平面所成的角．

在中，，

所以當最短時，最大，

即當時，最大．

此時，

因此．又，所以，所以．

解法一：因為平面，平面，所以平面平面．

過作于，則平面，

過作于，連接，則為二面角的平面角，

在中，，，

又是的中點，在中，，

又，

在中，，即所求二面角的余弦值為．

解法二：由(Ⅰ)知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又分別為的中點，所以

，

，

所以．

設平面的一法向量為，

則因此取，則，

因為，，，所以平面，

故為平面的一法向量．

又，所以．

因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．

6．(2007年寧夏、 海南卷，數學文科，18)如圖，為空間四點．在中，．

等邊三角形以為軸運動．

(Ⅰ)當平面平面時，求；

(Ⅱ)當轉動時，是否總有？

證明你的結論．

[解析]考查直線和平面與平面和平面的相互關系

[答案](Ⅰ)取的中點，連結，

因為是等邊三角形，所以．

當平面平面時，

因為平面平面，

所以平面，

可知

由已知可得，在中，．

(Ⅱ)當以為軸轉動時，總有．

證明：

(ⅰ)當在平面內時，因為，

所以都在線段的垂直平分線上，即．

(ⅱ)當不在平面內時，由(Ⅰ)知．又因，所以．

又為相交直線，所以平面，由平面，得．

綜上所述，總有．

5．(2008年海南寧夏卷，數學文科，18)如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側視圖在下面畫出(單位：cm)。(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(3)在所給直觀圖中連結，證明：∥面EFG。

[解析]長方體的有關知識、體積計算及三視圖的相關知識

[答案](1)如圖

(2)所求多面體的體積

(3)證明：如圖，在長方體中，連接，則∥

因為E，G分別為中點，所以∥，從而∥，

又, 所以∥平面EFG；

4．(2007年廣東卷，數學文科，6)若l、m、n是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是

A．若，則　 　B．若，則　 　　　　　

C. 若，則 　　　　　D．若，則

[解析]考查直線和平面與直線和平面的相互關系，對A，當　 ∥　 ，?時，只是平行于　 中某一直線而非所有，因而未必能平行于n；對B，只有在垂直與兩面的交線才有結論⊥　 成立；

對C，直線和m可以是異面，立方體的棱就能體現這種關系。

[答案]D

3．(2008年江西卷，數學理科，16) 如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點P。如果將容器倒置，水面也恰好過點(圖2)。有下列四個命題：

A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半

B．將容器側面水平放置時，水面也恰好過點

C．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經過點

D．若往容器內再注入升水，則容器恰好能裝滿

其中真命題的代號是：　　　　　　　 (寫出所有真命題的代號)．

[解析]易知所盛水的容積為容器容量的一半，故D正確，于是A錯誤；水平放置時由容器形狀的對稱性知水面經過點P，故B正確；C的錯誤可由圖1中容器位置向右邊傾斜一些可推知點P將露出水面。

[答案]真命題的代號是：　 BD　 。