1。命題預(yù)測(cè)
直線與圓是最基本的圖形,是解析幾何的基本內(nèi)容,也是高考必考查的內(nèi)容,試題多為選擇和填空題,難度適中,屬基本要求,但偶有與圓有關(guān)問題的解答題,其解答難度則可能較大。試題常在直線的圖象、求直線方程,直線 的平行與垂直的位置關(guān)系,求圓面積的方程與有關(guān)圓的軌跡問題上作重點(diǎn)考查。同時(shí)有關(guān)對(duì)稱問題也是高考的熱點(diǎn)問題,其中直線與圓的位置關(guān)系與對(duì)稱問題出現(xiàn)頻率較高。而隨著平面向量的出現(xiàn),向量與直線或圓的綜合問題則是一直高考的新熱點(diǎn)。
圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容,因而是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。在每年的高考中一般有兩道選擇或填空題以及一道解答題。兩道小題目通常是一道較易的“低檔”題與一道“中檔”題,主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及基本方法的靈活運(yùn)用,特別是要注意離心率的考察。而解答題則是注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)語言的考查,重視對(duì)圓錐曲線定義的應(yīng)用的考查。求軌跡以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考題,將注重考查與一元二次方程有關(guān)的判別式、韋達(dá)定理等腰三角形的應(yīng)用。
4、(2008學(xué)年度第一學(xué)期上海市普陀區(qū)高三年級(jí)質(zhì)量調(diào)研第16題)(本題滿分12分)設(shè)點(diǎn)在橢圓
的長(zhǎng)軸上,點(diǎn)
是橢圓上任意一點(diǎn). 當(dāng)
的模最小時(shí),點(diǎn)
恰好落在橢圓的右頂點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
答案:解:設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),由于橢圓方程為
,故
.
因?yàn)?sub>,所以
推出.
依題意可知,當(dāng)時(shí),
取得最小值.而
,
故有,解得
.
又點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸上,即
. 故實(shí)數(shù)
的取值范圍是
.
[點(diǎn)評(píng)]與圓錐曲線有關(guān)的最值問題、參數(shù)范圍問題綜合性較強(qiáng),解題時(shí)需根據(jù)具體問題靈活的運(yùn)用平面幾何、函數(shù)、不等式等知識(shí),正確的構(gòu)造出圓錐曲線與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。
3、(金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科))
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過
、
、
三點(diǎn).
(1)求橢圓的方程:
(2)若點(diǎn)D為橢圓上不同于
、
的任意一點(diǎn),
,當(dāng)
內(nèi)切圓的面積最大時(shí)。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo);
(3)若直線與橢圓
交于
、
兩點(diǎn),證明直線
與直線
的交點(diǎn)在直線
上.
[解析](1)設(shè)橢圓方程為
將、
、
代入橢圓E的方程,得
解得
.
∴橢圓的方程
(4分)
(2),設(shè)
邊上的高為
當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),
最大為
,所以
的最大值為
.
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為
,因?yàn)?sub>
的周長(zhǎng)為定值6.所以
,
所以的最大值為
.所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為
(10分)
(3)法一:將直線代入橢圓
的方程
并整理.
得.
設(shè)直線與橢圓
的交點(diǎn)
,
由根系數(shù)的關(guān)系,得.
直線的方程為:
,它與直線
的交點(diǎn)坐標(biāo)為
同理可求得直線
與直線
的交點(diǎn)坐標(biāo)為
.
下面證明、
兩點(diǎn)重合,即證明
、
兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等:
,
因此結(jié)論成立.
綜上可知.直線與直線
的交點(diǎn)住直線
上. (16分)
法二:直線的方程為:
由直線的方程為:
,即
由直線與直線
的方程消去
,得
∴直線與直線
的交點(diǎn)在直線
上.
[點(diǎn)評(píng)]本題是將直線、圓與橢圓結(jié)合運(yùn)用方程思想解題。
2、(遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2008年高考模擬)
在正△ABC中,D∈AB,E∈AC,向量,則以B,C為焦點(diǎn),且過D,E的雙曲線的離心率為 ( )
A. B.
C.
D.
[解析]D.
[點(diǎn)評(píng)]由幾何圖形的性質(zhì)得到關(guān)于a,b,c的齊次等式
1.(遼寧省沈陽(yáng)二中2008-2009學(xué)年上學(xué)期高三期中考試)
直線恒過定點(diǎn)C,圓C是以點(diǎn)C為圓心,以4為半徑的圓。
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)圓M的方程為上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PE、PF,切點(diǎn)為E、F,求
的最大值和最小值。
[解析](1),
(2)設(shè)則
在,
由圓的幾何性質(zhì)得
,由此可得
的最大值為-
最小值為-8
[點(diǎn)評(píng)]向量與解析幾何結(jié)合是高考命題的重要趨勢(shì),本題難度不大。但是如果不能將“向量語言”準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為“函數(shù)語言”,或在解題中不細(xì)心都可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。切記:“細(xì)節(jié)決定成敗”
即點(diǎn)總在定直線
上
[點(diǎn)評(píng)]本題第一問是直接待定系數(shù)求出方程,第二問本質(zhì)也是求動(dòng)點(diǎn)軌跡是一條直線采用交軌法和參數(shù)法可求解。另外第二問還可以利用直線的參數(shù)方程解題。
4、(廣東卷18).(本小題滿分14分)
設(shè),橢圓方程為
,拋物線方程為
.如圖4所示,過點(diǎn)
作
軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為
,已知拋物線在點(diǎn)
的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)
.
(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程;
(2)設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)
,使得
為直角三角形?若存在,請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)?并說明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)).
[解析](1)由
得
,
當(dāng)得
,
G點(diǎn)的坐標(biāo)為
,
,
,過點(diǎn)G的切線方程為
即
,令
得
,
點(diǎn)的坐標(biāo)為
,由橢圓方程得
點(diǎn)的坐標(biāo)為
,
即
,即橢圓和拋物線的方程分別為
和
;
(2)過
作
軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)
,
以
為直角的
只有一個(gè),
同理 以
為直角的
只有一個(gè)。
若以為直角,設(shè)
點(diǎn)坐標(biāo)為
,
、
兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
和
,
。
關(guān)于的二次方程有一大于零的解,
有兩解,
即以為直角的
有兩個(gè),
因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。
(四) 圓錐曲線
1、(08福建卷11)又曲線(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為(B)
A.(1,3) B. C.(3,+
) D.
[解]PF1|-|PF2|=|PF2|=2a-a,故知e≤3又因?yàn)閑>1,選B
[點(diǎn)評(píng)]圓錐曲線的幾何參量是高考重點(diǎn),而幾何參量中的離心率又是重中之重。
[突破]解決離心率的求值或求范圍問題,重要是找到的齊次等式或不等式。
2、(08陜西卷8)雙曲線(
,
)的左、右焦點(diǎn)分別是
,過
作傾斜角為
的直線交雙曲線右支于
點(diǎn),若
垂直于
軸,則雙曲線的離心率為( B )
A. B.
C.
D.
同上易知
3、(08安徽卷22).(本小題滿分13分)
設(shè)橢圓過點(diǎn)
,且著焦點(diǎn)為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線
與橢圓
相交與兩不同點(diǎn)
時(shí),在線段
上取點(diǎn)
,滿足
,證明:點(diǎn)
總在某定直線上
解 (1)由題意:
,解得
,所求橢圓方程為
(2)方法一
設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。
由題設(shè)知均不為零,記
,則
且
又A,P,B,Q四點(diǎn)共線,從而
于是
,
,
從而
,
(1)
,
(2)
又點(diǎn)A、B在橢圓C上,即
(1)+(2)×2并結(jié)合(3),(4)得
即點(diǎn)總在定直線
上
方法二
設(shè)點(diǎn),由題設(shè),
均不為零。
且
又 四點(diǎn)共線,可設(shè)
,于是
(1)
(2)
由于在橢圓C上,將(1),(2)分別代入C的方程
整理得
(3)
(4)
(三) 直線與圓的位置關(guān)系
1、 (2008海南、寧夏文)已知m∈R,直線l:和圓C:
。
(1)求直線l斜率的取值范圍;
(2)直線l能否將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓弧?為什么?
[解](Ⅰ)直線的方程可化為
,
直線的斜率
,
因?yàn)?sub>,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立.
所以,斜率的取值范圍是
.
(Ⅱ)不能.
由(Ⅰ)知的方程為
,其中
.
圓的圓心為
,半徑
.
圓心到直線
的距離
.
由,得
,即
.從而,若
與圓
相交,則圓
截直線
所得的弦所對(duì)的圓心角小于
.
所以不能將圓
分割成弧長(zhǎng)的比值為
的兩段。
[點(diǎn)評(píng)]此題考查了直線方程,函數(shù)求值域,直線與圓的位置關(guān)系。難度不大但很好的綜合了以上知識(shí)點(diǎn)。
[突破]注意把直線方程中的換成k使表達(dá)簡(jiǎn)單,減小運(yùn)算量。
(二)圓
1、(2008上海文、理)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,
是一個(gè)與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍成的區(qū)域(含邊界),A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn).若點(diǎn)
、點(diǎn)
滿足
且
,則稱P優(yōu)于
.如果
中的點(diǎn)
滿足:
不存在中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q,那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧( D )
A. B. C. D.
[解]由題意可知Q點(diǎn)一定是圓上的一段弧且縱坐標(biāo)較大橫坐標(biāo)較小,
故知是上半圓的左半弧。
[點(diǎn)評(píng)]此題是一個(gè)情景創(chuàng)設(shè)題,考查學(xué)生的應(yīng)變能力。
[突破]Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)較大,橫坐標(biāo)較小。
2、(2008天津文)已知圓的圓心與點(diǎn)
關(guān)于直線
對(duì)稱.直線
與圓
相交于
兩點(diǎn),且
,則圓
的方程為
[解]利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)易得結(jié)果。
[點(diǎn)評(píng)]此題雖小但考查到了對(duì)稱、直線與圓相交、圓的方程等知識(shí)。
[突破]利用對(duì)稱求出圓心坐標(biāo),利用直角三角形解出半徑。
(一)直線
1、(2008四川文、理) 直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
,再向右平移1個(gè)單位,所得到的直線為( A )
(A) (B)
(C)
(D)
[解]∵直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
的直線為
,從而淘汰(C),(D)
又∵將向右平移1個(gè)單位得
,即
故選A;
[點(diǎn)評(píng)]此題重點(diǎn)考察互相垂直的直線關(guān)系,以及直線平移問題;
[突破]熟悉互相垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù),過原點(diǎn)的直線無常數(shù)項(xiàng);重視平移方法:“左加右減”;
2、 (2008江蘇) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系
中,設(shè)三角形
的頂點(diǎn)分別為
,點(diǎn)
在線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn)),這里
均為非零實(shí)數(shù),設(shè)直線
分別與邊
交于點(diǎn)
,某同學(xué)已正確求得直線
的方程為
,請(qǐng)你完成直線
的方程: (
)
。
[解]畫草圖,由對(duì)稱性可猜想填.事實(shí)上,由截距式可得直線AB:
,直線CP:
,兩式相減得
,顯然直線AB與CP 的交點(diǎn)F 滿足此方程,又原點(diǎn)O 也滿足此方程,故為所求直線OF 的方程.[答案]
[點(diǎn)評(píng)]本小題考查直線方程的求法.
[突破]注意觀察出對(duì)稱性。
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