3．設命題甲為:
;命題乙為:
;則甲是乙的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.
2．函數
的定義域為 ( )
A．(1，2)∪(2，3) B．
C．(1，3) D．[1，3]
1、不等式
解集是( )
A (0,2) B (2,+∞) C 
D (－∞,0)∪(2,+∞)
(二)特別提示：
1．在使用公式a
+b≥2ab和
≥
時，要注意這兩者成立的條件
是不相同的，前者只要求a、b都是實數，而后者要求a、b都是正數．
2．在使用二元均值定理求最值時，必須具備三個條件：①在所求最值的代
數式中，各變數均應是正數(如不是，則進行變號轉換)；②各變數的和或積必須為常數，以確保不等式一邊為定值(如不是，則進行拆項或分解，務必使不等式的一端的和或積為常數)；③各變數有相等的可能(即相等時，變量字母有實數解，且在定義域內，如無，則說明拆項、分解不當，此時，應重新拆項、分解或改用其它方法，比如，已知x
[2，3]，求函數y = x+
的最小值，從形式上看可以使用二元均值定理，但等號成立的條件不具備，因此，要考慮函數的單調性把問題解決)．
3．在使用均值定理證明問題時，要注意它們反復使用后，再相加相乘時字
母應滿足的條件及多次使用后等號成立的條件是否一致，若不一致，則不等式中的等號不能成立．
例11．有一組數據：
它們的算術平均值為10，若去掉其中最大的一個，余下的數據的算術平均值為9；若去掉其中最小的一個，余下數據的算術平均值為11．(Ⅰ)求出第一個數
關于n的表達式及第n個數
關于n的表達式，(Ⅱ)若
都是正整數，試求第n個數的最大值，并舉出滿足題目要求且取到最大值的一組數據．
解：依條件：
(Ⅰ)由(1)－(2)得：
再(1)－(3)得：x1=11－n．
(Ⅱ)∵x1是正整數，∴x1=11－n≥1，
，∴xn=n+9≤19．
當n=10時，
．
此時，取
即可，
∴當n=10時，xn的最大值是19．
點評：注意掌握均值不等式成立的條件及其變形；注意掌握“湊”的技巧，創造應用均值不等式的情境；注意掌握均值不等式等號成立的條件．
例12．(山東省聊城市2007-2008學年度第一學期高三期末統考)某投資商到一開發區投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元.設
表示前n年的純利潤總和(f(n)=前n年的總收入一前n年的總支出一投資額)．(1)該廠從第幾年開始盈利？(2)若干年后，投資商為開發新項目，對該廠有兩種處理方案：①年平均純利潤達到最大時，以48萬元出售該廠；②純利潤總和達到最大時，以16萬元出售該廠，問哪種方案更合算？
解：由題意知
(1)由
，
由
知，從經三年開始盈利．
(2)方案①：年平均純利潤
，當且僅當n=6時等號成立．
故方案①共獲利6×16+48=144(萬元)，此時n=6．
方案②：
當n=10，
故方案②共獲利128+16、144(萬元)．
比較兩種方案，獲利都是144萬元，但由于第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①種方案更合算．
點評：不等式的應用問題，綜合性強，是高考應用命題的重點之一，不等式的應用題大部分以函數的面目出現，在解決范圍問題或求最值時，均值不等式為主要工具，從而解決實際問題。解題步驟：1、先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最值的變量定為函數；2、建立相應的函數關系，把實際問題抽象為函數的最值問題；3、在定義域內，求出函數的最值；4、正確寫出答案．
考點五：不等式證明問題
作差比較法的程序是:作差---變形----判斷差的正負；作商比較法的程序是:作商------變形------判斷商與1的大小(商式的分子分母均要為正)．
綜合法證明不等式是“由因導果”，分析法證明不等式是“執果索因”，它們是兩種思路截然相反的方法。分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述．
例13．(山東省濰坊市2008年5月高三教學質量檢測) 已知各項均為正數的
等比數列{an}，公比q>1，且滿足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中項．(1)求數列{an}的通項公式；(2)設
，試比較An與Bn的大小，并證明你的結論．
解：(1)
的等差中項，
解得q=2或
(舍去)，
(2)由(1)得
，當n=1時，A1=2，B1=(1+1)2=4，A1<B1；當n=2時，A2=6，B2=(2+1)2=9，A2<B2；當n=3時，A3=14，B3=(3+1)2=16，A3<B3；當n=4時，A4=30，B4=(4+1)2=25，A4>B4；
由上可猜想，當1≤n≤3時，An<Bn；當n≥4時，An>Bn．
下面用數學歸納法給出證明：①當n=4時，已驗證不等式成立．
②假設n=k(k≥4)時，Ak>Bk成立，即
,
即當n=k+1時不等式也成立，由①②知，當
綜上，當
時，An<Bn；當
點評：本題是用數學歸納法來證明不等式的，實際上運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等．
例13．(福建省八閩高中2008年教學協作組織聯考)設數列
的前n項和為
，已知
，且
.(I)求數列
的通項公式；(II)
的大小關系，并給出證明．
解：(I)∵，∴
，
∴
，又∵
．
(II)∵
，∴
，∴
…………… 10分
點評：本題是用放縮法證明不等式．所謂放縮法，就是針對不等式的結構特征，運用不等式及有關的性質，對所證明的不等式的一邊進行放大或縮小或兩邊放大縮小同時兼而進行，似達到證明結果的方法。但無論是放大還是縮小都要遵循不等式傳遞性法則，保證放大還是縮小的連續性，不能牽強附會，須做到步步有據．比如：證a＜b，可先證a＜h1，成立，而h1＜b又是可證的，故命題得證．
利用放縮法證明不等式，既要掌握放縮法的基本方法和技巧，又須熟練不等式的性質和其他證法。做到放大或縮小恰到好處，才有利于問題的解決。現舉例說明用放縮法證明不等式的幾種常用方法．
例14．(江蘇省鹽城中學2008年高三上學期第二次調研測試題)已知a>0，b>0，c>0，abc=1，試證明：
．
證明：由
，所以
同理：
， 
相加得：左³
．
點評：本題是用的基本不等式的變形來處理的．
例15．(山東省文登三中2009屆高三第三次月考試題)已知函數
的圖象經過原點．(Ⅰ)若
、
、
成等差數列，求
的值；(Ⅱ)若
，三個正數
、
、
成等比數列，
．
證明：(Ⅰ)由
，得
，
，
，又
成等差數列，
即：
即：
，解之得：
或
，
經檢驗，是增根，∴．
(Ⅱ)證明：
，
時等號成立．
此時
即：
。
例16．(福建德化一中2008年秋季高三第二次質量監控考試)已知函數
是定義在
上的奇函數,當
時, 
(其中e是自然界對數的底, 
),(1) 求的解析式；(2) 設
，求證：當
，
時，
；(3)是否存在負數a，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由．
解：(1)設
，則
，所以
，又因為是定義在
上的奇函數，所以
故函數的解析式為
(2)證明：當且時，
，設
，因為
，所以當
時，
，此時單調遞減；當
時，
，此時單調遞增，所以
，又因為
，所以當
時，
，此時
單調遞減，所以
所以當時，
即．
(3)解：假設存在負數
，使得當時，
有最小值是3，則
．
①當
，由于，則
，故函數 是
上的增函數．
所以
，解得
(舍去)
②當
時，則
當
時，
，此時函數是減函數；
當
時，
，此時函數是增函數．
所以
，解得
滿足題意。
綜上可知，存在負數，使得當時，有最小值3．
點評：本題是利用函數的單調性和導數知識來解決的．函數和不等式是密切相關的，不等式可視為兩個函數值大小的比較，在處理不等式的有關問題時，注意運用函數思想作指導，即研究題設所提供的信息，通過觀察分析，構造一個適當的函數，然后利用函數的圖象和性質加以研究，往往能是問題獲得新穎別致，簡捷明快的解答．
例17．(浙江省余姚中學08-09學年上學期高三第三次質量檢測)設函數
求證：(1)
；(2)函數在區間(0，2)內至少有一個零點；(3)設
是函數的兩個零點，則
證明：(1)
，
．又
，
，又2c=－3a－2b 由3a＞2c＞2b ∴3a＞－3a－2b＞2b，∵a＞0 
．
(2)∵f(0)=c，f(2)=4a+2b+c=a－c
①當c＞0時，∵a＞0，∴f(0)=c＞0且
∴函數f(x)在區間(0，1)內至少有一個零點
②當c≤0時，∵a＞0 
∴函數f(x)在區間(1，2)內至少有一個零點，
綜合①②得f(x)在(0，2)內至少有一個零點．
(3)∵x1，x2是函數f(x)的兩個零點，則
的兩根，∴
，
，
．
點評：本題是利用不等式的性質和二次函數的有關性質來求解．
考點五：與不等式交匯的問題
不等式幾乎能與所有數學知識建立廣泛的聯系，通常以不等式與函數、三角、向量、數列、解析幾何、數列的綜合問題的形式出現，尤其是以導數或向量為背景的導數(或向量)、不等式、函數的綜合題和有關不等式的證明或性質的代數邏輯推理題，問題多屬于中檔題甚至是難題，對不等式的知識，方法與技巧要求較高，下面舉例說明：
1．以集合為背景的不等式
以集合為背景的不等式，以考查不等式的解法和集合的有關概念與運算為目的，解題時應注意將不等式的解法與集合的有關概念和運算相結合，準確解題．
例17．(廣東省深圳中學2008-2009學年度高三第一學段考試)已知集合
，全集為實數集R．(1)求
；
(2)如果
的取值范圍．
解：(1)
，
．
(2)如圖
當a>3時，A
點評：本題重點考查集合的運算及數形結合的思想．
2．以線性規劃形式出現的不等式
例18．(山東省萊蕪市2008屆高三年級期末考試)電視臺某廣告公司特約播放兩部片集，其中片集甲每片播放時間為20分鐘，廣告時間為1分鐘，收視觀眾為60萬；片集乙每片播放時間為10分鐘，廣告時間為1分鐘，收視觀眾為20萬，廣告公司規定每周至少有6分鐘廣告，而電視臺每周只能為該公司提供不多于86分鐘的節目時間(含廣告時間)，(1)問電視臺每周應播放兩部片集各多少集，才能使收視觀眾最多，(2)在獲得最多收視觀眾的情況下，片集甲、乙每集可分為給廣告公司帶來的a和b(萬元)的效益，若廣告公司本周共獲得1萬元的效益，記
為效益調和指數，求效益調和指數的最小值．(取
)
解：(1)設片集甲、乙分別播放x、y集設片集甲、乙分別播放x、y集
則有
，要使收視觀眾最多，則只要Z=60x+20y最大即可.
如圖作出可行域，
易知滿足題意的最優解為
(2，4)，
故電視臺每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收視人觀眾最多，……………7分
(2)由題意得：2a+4b=1
=11.64．
所以效益調和指數的最小值為11.64．
點評：以線性規劃形式出現的不等式，重在考查數形結合的解題能力．這種題目解題時要注意根據已知不等式組作出圖形分析求解．
3．以簡易邏輯為背景的不等式
以簡易邏輯為背景的不等式,解題時往往以不等式為工具，來確定命題，用簡易邏輯知識解決問題．
例19．(2006 年山東卷)設
，則
是
的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解： 由題設可得：
故選A．
點評：本題主要考查利用不等式和簡易邏輯知識解決問題的能力．
4．與函數知識結合的不等式
例20．(2008年泉州一中高中畢業班適應性練習)已知函數
.(1)求f (x)的單調區間；(2)若當
時，不等式f (x)<m恒成立，求實數m的取值范圍；(3)若關于x的方程
在區間[0, 2]上恰好有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍．
解：(1)函數的定義域為(-1, +∞)，∵ 
，由
，得x>0；由
，得
.
∴ f (x)的遞增區間是
，遞減區間是(-1, 0).
(2)∵ 由
，得x=0,x=-2(舍去)
由(Ⅰ)知f (x)在
上遞減，在
上遞增.
又 
， 
, 且
.
∴ 當時，f (x)的最大值為
.
故當
時，不等式f (x)<m恒成立.
(3)方程, 
.
記
,
∵ 
,
由
,得x>1或x<-1(舍去). 由
, 得
.
∴ g(x)在[0,1]上遞減, 在[1,2]上遞增.
為使方程在區間[0, 2]上恰好有兩個相異的實根，
只須g(x)=0在[0,1]和
上各有一個實數根,于是有
∵ 
,
∴ 實數a的取值范圍是 
.
點評：與函數知識結合的不等式，解題時往往以不等式為工具，結合函數知識，通過推理來解決問題．
5.與平面向量知識結合的不等式
與平面向量知識結合的不等式,解題時往往以不等式為工具, 結合平面向量知識和坐標運算,通過和坐標運算和推理來解決問題.
例21．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM＝2，則
的最小值是
.
解法一：如圖,
=
即
的最小值為:－2.
解法二：選取如圖等腰直角三角形ABC，由斜邊上的中線AM=2，
則A(0,0) ,B(2
,0), C(0,2
,
M(
,
設O(x,y), (且x=y, x
)，則
=(
=
=
.
設f(x)=4x2-4
,
,結合二次函數圖像知:當x=
時, f(x)min=4
點評：本題考查了向量與解析幾何知識交匯問題，可利用向量的性質結合均值不等式知識綜合求解；或者選取特殊三角形，把向量式轉化為二次函數關系式，利用二次函數求出其最小值．
6．與函數的導數知識結合的不等式
與函數的導數知識結合的不等式，解題時往往以不等式和函數的導數為工具， 結合函數知識,通過推理來解決問題．
例22．(山東省淄博市2008年5月高三模擬試題)已知函數
在
是增函數,
在(0,1)為減函數．(I)求
、
的表達式；
(II)求證:當
時,方程
有唯一解；(III)當
時,若
在
∈
內恒成立,求
的取值范圍．
解：(I)
，依題意
在
上恒成立
即 
在上恒成立，∵
(，∴
①
又
依題意
在
時恒成立, 即
,恒成立
∵ 
()，∴ 
②，由①、②得 
∴ 
(II)由(1)可知,方程,
設
,
令
,并由
得
解得 
令
由
列表分析:
|
|
 |
 |
 |
 |
- |
 |
+ |
 |
遞減 |
|
遞增 |
知在
處有一個最小值0，當
時,＞0
∴ 
在(0,+¥)上只有一個解
即當x＞0時,方程
有唯一解．
(III)設
則 
∴ 
在
上為減函數，∴ 
又
所以
為所求范圍．
點評：本小題考查函數的導數，函數，函數極值的判定，給定區間上二次函數的最值等基礎知識的綜合運用，考查就數形結合的數學思想分析問題，解決問題的能力．
7．與數列知識結合的不等式
與數列知識結合的不等式,解題時往往以不等式和數列知識結合為工具, 結合函數知識,通過計算和推理來解決問題.
例23．(安徽省皖南八校2008屆高三第三次聯考)數列
的首項
=1，前項和為
滿足
(常數
，
)．(1)求證：數列是等比數列.(2)設數列的公比為
，作數列
，使
，
(
2，3，4，…)，求數列的通項公式；(3)設
，若存在
，且
；
使
(
…
)
，試求的最小值．
解：(1)①，當
時，
②
①-②得，
即
由①，
，∴
,又
符合上式，
∴
是以1為首項，
為公比的等比數列．
(2)由(1)知
，∴
()，∴
.又，即
，
，∴數列
是為1首項，
為公比的等比數列．∴
，∴
．
(3)由(2)知
，則
.
∴
…
=
=
∴
，∴
.
∵
，∴
，
.
又∵，∴的最小值為7．
點評：本小題主要是考查等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力．
8．與立幾知識結合的不等式
例25．在
中，
，
分別為
邊上的點，且
。沿
將
折起(記為
)，使二面角
為直二面角．⑴當
點在何處時，
的長度最小，并求出最小值；⑵當的長度最小時，求直線
與平面
所成的角
的大小；⑶當的長度最小時，求三棱錐
的內切球的半徑
．
解法一：⑴連接
，設
，則
。因為，所以
，故
，從而
，故
。又因為
，所以
，當且僅當
取等號。此時
為
邊的中點，為
邊的中點。故當為邊的中點時，的長度最小，其值為
；
⑵連接
，因為此時分別為的中點，故
，所以
均為直角三角形，從而
，所以
即為直線與平面所成的角。因為
，所以
即為所求；
⑶因，又
，所以
．又
，故三棱錐試題詳情
(一)知識梳理
1．把稱為a、b的算術平均數，稱為a、b的幾何平均數。因而，二元均值定理可以敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。如果把看作是正數a、b的等差中項，看作是正數a、b的等比中項，那么二元均值定理還可以敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項
2．一般的數學中的定理、公式揭示了若干量之間的本質關系，但不能定格于某一種特殊形式，因此不等式a+b≥2ab的形式可以是a≥2ab－b，也可以是ab≤
，還可以是a+
≥2b (a＞0)，≥2b－a等。解題時不僅要利用原來的形式，而且要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，以便靈活運用．
3．盡管二元均值定理的應用范圍極廣，推論和相關結論也很多，但其本身終究是由不等式的意義、性質推導出來的．凡是用它可以獲證的不等式，均可以直接根據不等式的意義、性質證得．因此，在算術平均數與幾何平均數定理的應用中，不可忽視不等式的意義、性質等概念在處理有關不等式論證方面的根本作用．
4．二元均值不等式不但可以處理兩個正數的和與積結構的不等式，結合不等式的性質還可以處理兩個正數的平方和、倒數和與其它變形式的結構，由公式a+b≥2ab和≥可以得到以下幾個重要結論：
①
a+b≥－2ab (當且僅當a = －b時取“=”號)；
②
a+b≥2|ab| (當且僅當| a | = | b |時取“=”號)；
③
a+b≥－2|ab| (當且僅當a = b= 0時取“=”號)；
④
≤≤≤
(a、b都是正數，當且僅當a = b時等號成立)．
5．二元均值不等式還能處理幾個正數的平方和與和結構，倒數和與和結構，根式和與和結構及兩兩之積與和結構等不等式問題，但在處理這些結構型的不等式時，要注意與其它依據相結合來處理。常見結構的不等式的處理方法歸納如下：
⑴ab+bc+ca與a+b+c型
利用(a+b+c)=
a+b+c+2ab+2bc+2ca與a+b+c≥ab+bc+
ca相結合；
⑵a+b+c與a+b+c型
利用a+b+c≥ab+bc+ca乘以2再加上a+b+c即可；
⑶
+
+
與a+b+c型
只要在⑵中每個字母開方代換即可．
6．利用均值定理可以求函數或代數式的最值問題：
⑴當a，b都為正數，且ab為定值時，有a+b≥
(定值)，當且僅當a = b時取“=”號，此時a+b有最小值；
⑵當a，b都為正數，且a+b為定值時，有ab≤
(定值)，當且僅當
a = b時取“=”號，此時ab有最大值．
以上兩類問題可簡稱為“積大和小”問題．
7．創設應用算術平均數與幾何平均數定理使用的條件，合理拆分項或配湊
因式是經常用的解題技巧，而拆與湊的過程中，一要考慮定理使用的條件(兩數都為正)；二要考慮必須使和或積為定值；三要考慮等號成立的條件(當且僅當a = b時取“=”號)，它具有一定的靈活性和變形技巧，高考中常被設計為一個難點．
8．二元均值定理具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和
式”的放縮功能，若所證不等式可變形成一邊為和，另一邊為積的形式，則可以考慮使用這一定理把問題轉化．其中“一正二定三相等”在解題中具有雙重功能，即對條件的制約作用，又有解題的導向作用．
考點一：不等式的性質
不等式的性質是解不等式與證明不等式的理論根據，必須透徹理解，且要注意性質使用的條件；比較兩個實數的大小，一般用作差法，有時也可用作商法，其實質上是不等式性質的應用，當然它也是不等式證明的一種方法．
例1．設實數
滿足下列三個條件：
；
；
。請將按從小到大的順序排列，并證明你的結論。
解：
又因為 ，所以 
.
點評：正確找到一個合理的解題程序，可大大提高解題速度．
例2．設
，求
的取值范圍．
解：因為 
，
，所以，
，
，則
又因為,
，所以
, 故
．
點評：嚴格依據不等式的基本性質和運算法則是正確解答此類題目的保證．
例3．(寧夏銀川一中2008屆高三年級第三次模擬考試)設a∈R且a≠-
,比較
與-a的大小．
解：
-(
)=
,
當
且
時,∵ 
,∴
．
當
時, ∵
,∴=．
當
時,∵ 
,∴
.
點評：比較大小的常用方法是：作差比較與作商比較．在數的比較大小過程中，要遵循這樣的規律，異中求同即先將這些數的部分因式化成相同的部分，再去比較它們剩余部分，就會很輕易啦．一般在數的比較大小中有如下幾種方法：(1)作差比較法和作商比較法，前者和零比較，后者和1比較大小；(2)找中間量,往往是1，在這些數中，有的比1大，有的比1小；(3)計算所有數的值；(4)選用數形結合的方法,畫出相應的圖形；(5)利用函數的單調性等等．
考點二：含參數的不等式問題
含有參數的不等式問題是高考常考題型，求解過程中要利用不等式的性質將不等式進行變形轉化，化為一元二次不等式等問題去解決，注意參數在轉化過程中對問題的影響．
例4．(福建德化一中2008年秋季高三第二次質量監控考試)已知對一切實數
都有
，且當＞時，＜(1)證明為奇函數且是
上的減函數；(2)若關于的不等式
對一切
恒成立，求m的取值范圍.
(1)證明：依題意取
，∴
.
又取
可得
，∴
由x的任意性可知為奇函數，又設
∴
，∵
，∴
∴在R上減函數．
(2)解：∵函數是奇函數，∴由得
∴
即
，又∵是上的減函數，∴
恒成立，
當時，
，故此時
的最小值為
，∴
．
點評：在確定恒成立不等式中參數的取值范圍時，需要在函數思想的指引下，靈活地進行代數變形、綜合地運用多科知識，方可取得較好的效益，因此此類問題的求解當屬學習過程中的難點.對于不等式恒成立問題，除了運用分類討論的方法外，還可采用分離參數的方法，即對于一些含參數的不等式恒成立問題，如果能夠將不等式進行同解變形，將不等式中的變量和參數進行剝離，即使變量和參數分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數的值域的方法將問題化歸為解關于參數的不等式的問題．
例5．(山東省泰安市2008年高三11月教學質量檢測)設命題p：函數
的定義域為R；命題q：不等式
對一切正實數均成立，(1)如果p是真命題，求實數a的取值范圍；(2)如果命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．
解：(1)若命題p為真，即
恒成立
① 當a=0時，
不合題意 ，② 當
時，可得
即
，
(2)令
，由
得
，
的值域為
，若命題q為真，則
．由命題“p或q”為真且“p且q”為假，得
命題p、q一真一假，① 當p真q假時，a不存在；② 當p假q真時，
．
．
點評：對于含參數問題，常常用分類討論的方法．在解答有關不等式問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、各個擊破的解題策略．有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置．解答分類討論問題的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥(沒有重復)；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論．
例6．(廣東省深圳中學2008-2009學年度高三第一學段考試)已知函數
，(1)試判斷函數的單調性并加以證明；(2)當
恒成立時，求實數a的取值范圍．
解：(1)函數
的定義域為R，函數在R上是增函數，
設是R內任意兩個值，并且
則
，
即
，
是R上的增函數．
(2)
，
，
，
，
即
，當
點評：一般地對不等式恒成立有下列幾種情形：①f(x)≥g(k) <==> [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) <==> g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max≤g(k)，④f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max < g(k)．
例7．(福建省八閩高中2008年教學協作組織聯考)設
，且
(e為自然對數的底數)(1)求p與q的關系；(2)若
在其定義域內為單調遞增函數，求p的取值范圍；(3)設
且
，若在
上至少存在一點
，使得
成立，求實數p的取值范圍．
解：(1) 由題意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2
Þ (p－q) (e + ) = 0. 而 e + ≠0 ， ∴ p = q，
(2) 由 (1)
知 f (x) = px－－2ln x，f1(x) = p + －= ，要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內為單調增函數，只需 f1(x) 在 (0,+¥) 內滿足：f1(x)≥0恒成立.即
對(0,+¥) 恒成立,因此
(3) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是減函數，∴x = e時，g(x)min = 2，x = 1 時，g(x)max = 2e即 g(x)Î [2,2e]．
①0 < p < 1 時，由x Î [1,e] Þ x－≥0，∴f (x) = p (x－)－2ln x<x－－2ln x，當 p = 1 時，f (x)= x－－2ln x在 [1,e] 遞增．
∴f(x)<x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合題意．
② p≥1時，由(2)知f (x)在 [1,e] 連續遞增，f (1)= 0 < 2，又g(x) 在 [1,e]上是減函數．∴本命題Û f(x)max > g(x)min = 2，x Î [1,e]，
Þ f(x)max = f(e) = p(e－)－2ln e > 2 Þ p > ，
綜上，p 的取值范圍是 (,+¥).
考點三：解不等式問題
例8．解不等式
．
解：(第一步)將不等式左邊分解為幾個一次因式(每個因式的系數為正)，得
．
(第二步)如圖1，在實數軸上標出每個因式為0的實根的對應點．
圖1
(第三步)這四個實數根將實數軸分為五個區間．在從右到左的第一個區間
內，每個因式均為正，故其積為正；在從右到左的第二個區間
內，只有一個因式為負，其余因式均為正，故其積為負；在從右到左的第三個區間(1，2)內，有兩個因式同時為負，其余因式為正，故其積為正；在從右到左的第四個區間(－1，1)內，有三個因式均為負，其余因式為正，故其積為負；在從右到左的第五個區間
內，四個因式同時為負，故其積為正．因此，可將其解集直觀地標在數軸上，即用弧線從右到左(第一個區間內弧線恒在數軸上方)，將這五個區間連結起來，弧線經過數軸上方的區間就是這些因式的積大于0的解集；弧線經過數軸下方的區間就是這些因式的積小于0的解集．故原不等式的解集為
．
點評：解實系數一元高次不等式，可先把最高次項的系數化為正數，并使右邊為0，再通過因式分解，將左邊變形，最后用數軸標根法求解集．對于分式不等式也可采類似的方法．
例9．(廣東省深圳中學2008-2009學年度高三第一學段考試) 解不等式
．
解：
，
，即
，得
，
所以原不等式的解集為
．
點評：本題是指數型的不等式，盡可能化同底．
例10．已知
且
試解關于的不等式
解： 令
(
)
, 則原不等式
. 
即
，
故當
時，原不等式的解集是
當
時，原不等式的解是
.
點評：本題是利用換元法求解．換元法是指解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元．換元法是一種重要的解題方法，它可以化高次為低次、化無理式為有理式、化超越式為代數式，它不僅在中學數學中有廣泛應用，而且在高等數學中也有廣泛應用．復習中必須給予充分的重視，有意識、有目的地加強這方面的訓練和運用．
考點四：均值不等式問題
3．在復習不等式時，一要注意強化含參數不等式的解法與證明的訓練，尤其是理科考生更應注意到這一點；二要加強以函數為載體的不等式練習，如果以函數為背景考題出現在試卷上，一定與高等數學知識及思想方法相銜接，立意新穎，抽象程度高；三要靈活處理以導數為載體的導數、不等式、函數大型綜合問題，這類代數推理考題在復習時一定要倍加關注．
2．高考中，對不等式的考查不是單一的，所以此類考題往往綜合性強，難度也較大，應用極其廣泛，諸如求最值、比較大小、函數性質(定義域、值域、單調性、有界性、最值)的研究、方程解的討論、曲線類型和兩曲線位置關系的判定等等．因此，復習時應強化理解不等式的應用，注意多知識點的相互滲透．
1．在復習不等式的解法時，要加強等價轉化思想的訓練，以便快速、準確求解．在解或證明含有參數不等式的過程中，一般要對參數進行分類討論，因此，還要加強分類討論思想的訓練，做到分類合理、不重不漏．由于不等式、函數、方程三者密不可分，相互聯系、互相轉化，所以，強化函數與方程思想在不等式中的應用訓練十分必要．
(四)高考對不等式的考查側重以下幾個方面：
1．不等式性質的考查常與冪函數、指數函數和對數函數的性質的考查結合起來，一般多以選擇題的形式出現，有時與充要條件的知識聯系在一起．解答此類題目要求考生要有較好、較全面的基礎知識，一般難度不大．
2．高考試卷中，單純不等式的考題，一般是中檔難度題，內容多涉及不等式的性質和解法，以及重要不等式的應用．解不等式的考題常以填空題和解答題的形式出現．在解答題中，含字母參數的不等式問題較多，需要對字母參數進行分類討論，這類考題多出現在文科試卷上．
3．證明不等式近年來逐漸淡化，但若考試卷中出現不等式證明，則往往不是單獨的純不等式證明，而是與函數、三角、解析幾何、數列、導數等知識綜合考查，這時有可能是壓軸題或倒數第二題．此類考題區分度高，綜合性強，與同學們平時聯系的差距較大，考生要有較強的邏輯思維能力和較高的數學素質才能取得較好的成績．這類考題往往是理科試卷中經常出現的題型．
4．應用問題是近年數學高考命題的熱點，近些年高考試題帶動了一大批“以實際問題為背景，以函數模型，以重要不等式為解題工具”的應用題問世．解此類考題在合理地建立不等關系后，判別式、重要不等式是常用的解題工具．
5．含有絕對值的不等式經常出現在高考試卷中，有關內容在教材中安排較少，考生解此類問題大多感覺困難，這與平時練習量不足有關，對此應有所加強．
6．解不等式的基本思想是轉化，解題思路是利用不等式的性質及結合有關函數的性質把問題轉化為一元一次不等式、一元二次不等式、含有基本初等函數的最基本不等式，然后求解．在這里著重強調的是，解不等式是在不等式有意義的前提下求出滿足不等式的未知數取值的集合，在解無理不等式、對數不等式時，要注意其定義域．
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