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考點(diǎn)一:不等式的性質(zhì) 不等式的性質(zhì)是解不等式與證明不等式的理論根據(jù).必須透徹理解.且要注意性質(zhì)使用的條件,比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.一般用作差法.有時(shí)也可用作商法.其實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì)的應(yīng)用.當(dāng)然它也是不等式證明的一種方法．例1．設(shè)實(shí)數(shù)滿足下列三個(gè)條件:,,.請將按從小到大的順序排列.并證明你的結(jié)論. 解: 又因?yàn)?.所以 . 點(diǎn)評:正確找到一個(gè)合理的解題程序.可大大提高解題速度．例2．設(shè).求的取值范圍．解:因?yàn)?..所以. ..則又因?yàn)?.所以, 故．點(diǎn)評:嚴(yán)格依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則是正確解答此類題目的保證．例3．(寧夏銀川一中2008屆高三年級第三次模擬考試)設(shè)a∈R且a≠-,比較與-a的大小．解:-()=, 當(dāng)且時(shí),∵ ,∴．當(dāng)時(shí), ∵ ,∴=．當(dāng)時(shí),∵ ,∴. 點(diǎn)評:比較大小的常用方法是:作差比較與作商比較．在數(shù)的比較大小過程中.要遵循這樣的規(guī)律.異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分.再去比較它們剩余部分.就會很輕易啦．一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法:(1)作差比較法和作商比較法.前者和零比較.后者和1比較大小,(2)找中間量,往往是1.在這些數(shù)中.有的比1大.有的比1小,選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫出相應(yīng)的圖形,(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等等．考點(diǎn)二:含參數(shù)的不等式問題含有參數(shù)的不等式問題是高考常考題型.求解過程中要利用不等式的性質(zhì)將不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化.化為一元二次不等式等問題去解決.注意參數(shù)在轉(zhuǎn)化過程中對問題的影響．例4．(福建德化一中2008年秋季高三第二次質(zhì)量監(jiān)控考試)已知對一切實(shí)數(shù)都有.且當(dāng)＞時(shí).＜(1)證明為奇函數(shù)且是上的減函數(shù),(2)若關(guān)于的不等式對一切恒成立.求m的取值范圍. (1)證明:依題意取.∴. 又取可得.∴ 由x的任意性可知為奇函數(shù).又設(shè) ∴.∵.∴ ∴在R上減函數(shù)． (2)解:∵函數(shù)是奇函數(shù).∴由得 ∴即.又∵是上的減函數(shù).∴恒成立. 當(dāng)時(shí)..故此時(shí)的最小值為.∴．點(diǎn)評:在確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍時(shí).需要在函數(shù)思想的指引下.靈活地進(jìn)行代數(shù)變形.綜合地運(yùn)用多科知識.方可取得較好的效益.因此此類問題的求解當(dāng)屬學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn).對于不等式恒成立問題.除了運(yùn)用分類討論的方法外.還可采用分離參數(shù)的方法.即對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題.如果能夠?qū)⒉坏仁竭M(jìn)行同解變形.將不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行剝離.即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左.右兩邊.然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題．例5．(山東省泰安市2008年高三11月教學(xué)質(zhì)量檢測)設(shè)命題p:函數(shù)的定義域?yàn)镽,命題q:不等式對一切正實(shí)數(shù)均成立.(1)如果p是真命題.求實(shí)數(shù)a的取值范圍,(2)如果命題“p或q 為真命題.且“p且q 為假命題.求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解:(1)若命題p為真.即恒成立 ① 當(dāng)a=0時(shí).不合題意 .② 當(dāng)時(shí).可得即. (2)令.由得.的值域?yàn)?若命題q為真.則．由命題“p或q 為真且“p且q 為假.得命題p.q一真一假.① 當(dāng)p真q假時(shí).a不存在,② 當(dāng)p假q真時(shí).．．點(diǎn)評:對于含參數(shù)問題.常常用分類討論的方法．在解答有關(guān)不等式問題時(shí).有時(shí)會遇到多種情況.需要對各種情況加以分類.并逐類求解.然后綜合得解.這就是分類討論法．分類討論是一種邏輯方法.是一種重要的數(shù)學(xué)思想.同時(shí)也是一種重要的解題策略.它體現(xiàn)了化整為零.各個(gè)擊破的解題策略．有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性.綜合性.探索性.能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性.所以在高考試題中占有重要的位置．解答分類討論問題的基本方法和步驟是:首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍,其次確定分類標(biāo)準(zhǔn).正確進(jìn)行合理分類.即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一.不漏不重.分類互斥,再對所分類逐步進(jìn)行討論.分級進(jìn)行.獲取階段性結(jié)果,最后進(jìn)行歸納小結(jié).綜合得出結(jié)論．例6．(廣東省深圳中學(xué)2008-2009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試)已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明,(2)當(dāng)恒成立時(shí).求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽.函數(shù)在R上是增函數(shù). 設(shè)是R內(nèi)任意兩個(gè)值.并且則 . 即.是R上的增函數(shù)． (2).. .. 即.當(dāng) 點(diǎn)評:一般地對不等式恒成立有下列幾種情形:①f <==> [f> g < [f <==> [f≤g] max < g(k)．例7．(福建省八閩高中2008年教學(xué)協(xié)作組織聯(lián)考)設(shè).且求p與q的關(guān)系,(2)若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).求p的取值范圍,(3)設(shè)且.若在上至少存在一點(diǎn).使得成立.求實(shí)數(shù)p的取值范圍．解: = pe--2ln e = qe--2 Þ = 0. 而 e + ≠0 . ∴ p = q. = px--2ln x.f1(x) = p + -= .要使 f (x) 在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù).只需 f1 內(nèi)滿足:f1(x)≥0恒成立.即對恒成立,因此 = 在 [1,e] 上是減函數(shù).∴x = e時(shí).g(x)min = 2.x = 1 時(shí).g(x)max = 2e即 g(x)Î [2,2e]． ①0 < p < 1 時(shí).由x Î [1,e] Þ x-≥0.∴f -2ln x<x--2ln x.當(dāng) p = 1 時(shí).f (x)= x--2ln x在 [1,e] 遞增． ∴f(x)<x--2ln x≤e--2ln e = e--2 < 2.不合題意． ② p≥1時(shí).由在 [1,e] 連續(xù)遞增.f 在 [1,e]上是減函數(shù)．∴本命題Û f(x)max > g(x)min = 2.x Î [1,e]. Þ f(x)max = f-2ln e > 2 Þ p > . 綜上.p 的取值范圍是 . 考點(diǎn)三:解不等式問題例8．解不等式．解:將不等式左邊分解為幾個(gè)一次因式(每個(gè)因式的系數(shù)為正).得．如圖1.在實(shí)數(shù)軸上標(biāo)出每個(gè)因式為0的實(shí)根的對應(yīng)點(diǎn)．圖1 這四個(gè)實(shí)數(shù)根將實(shí)數(shù)軸分為五個(gè)區(qū)間．在從右到左的第一個(gè)區(qū)間內(nèi).每個(gè)因式均為正.故其積為正,在從右到左的第二個(gè)區(qū)間內(nèi).只有一個(gè)因式為負(fù).其余因式均為正.故其積為負(fù),在從右到左的第三個(gè)區(qū)間(1.2)內(nèi).有兩個(gè)因式同時(shí)為負(fù).其余因式為正.故其積為正,在從右到左的第四個(gè)區(qū)間內(nèi).有三個(gè)因式均為負(fù).其余因式為正.故其積為負(fù),在從右到左的第五個(gè)區(qū)間內(nèi).四個(gè)因式同時(shí)為負(fù).故其積為正．因此.可將其解集直觀地標(biāo)在數(shù)軸上.即用弧線從右到左(第一個(gè)區(qū)間內(nèi)弧線恒在數(shù)軸上方).將這五個(gè)區(qū)間連結(jié)起來.弧線經(jīng)過數(shù)軸上方的區(qū)間就是這些因式的積大于0的解集,弧線經(jīng)過數(shù)軸下方的區(qū)間就是這些因式的積小于0的解集．故原不等式的解集為．點(diǎn)評:解實(shí)系數(shù)一元高次不等式.可先把最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù).并使右邊為0.再通過因式分解.將左邊變形.最后用數(shù)軸標(biāo)根法求解集．對于分式不等式也可采類似的方法．例9．(廣東省深圳中學(xué)2008-2009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試) 解不等式．解:..即.得. 所以原不等式的解集為．點(diǎn)評:本題是指數(shù)型的不等式.盡可能化同底．例10．已知且試解關(guān)于的不等式解: 令 () , 則原不等式 . 即. 故當(dāng)時(shí).原不等式的解集是當(dāng)時(shí).原不等式的解是 . 點(diǎn)評:本題是利用換元法求解．換元法是指解數(shù)學(xué)題時(shí).把某個(gè)式子看成一個(gè)整體.用一個(gè)變量去代替它.從而使問題得到簡化．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化.關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．換元法是一種重要的解題方法.它可以化高次為低次.化無理式為有理式.化超越式為代數(shù)式.它不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)中有廣泛應(yīng)用.而且在高等數(shù)學(xué)中也有廣泛應(yīng)用．復(fù)習(xí)中必須給予充分的重視.有意識.有目的地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練和運(yùn)用．考點(diǎn)四:均值不等式問題【查看更多】

已知離心率為

的橢圓C₁的頂點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線

的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)

時(shí)，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

，求實(shí)數(shù)m的值．
設(shè)計(jì)意圖：考察直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識，考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．

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的橢圓C₁的頂點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線

的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)

時(shí)，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

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的橢圓C₁的頂點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線

的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)

時(shí)，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

，求實(shí)數(shù)m的值．
設(shè)計(jì)意圖：考察直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識，考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．

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的橢圓C₁的頂點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y2=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)k1=

1

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時(shí)，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

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，求實(shí)數(shù)m的值．
設(shè)計(jì)意圖：考察直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識，考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．

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已知離心率為

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x2

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-y2=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
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（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)k1=

1

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時(shí)，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

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