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(一)知識梳理 1.把稱為a.b的算術平均數.稱為a.b的幾何平均數.因而.二元均值定理可以敘述為:兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.如果把看作是正數a.b的等差中項.看作是正數a.b的等比中項.那么二元均值定理還可以敘述為:兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項 2.一般的數學中的定理.公式揭示了若干量之間的本質關系.但不能定格于某一種特殊形式.因此不等式a+b≥2ab的形式可以是a≥2ab-b.也可以是ab≤.還可以是a+≥2b .≥2b-a等.解題時不僅要利用原來的形式.而且要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等.以便靈活運用. 3.盡管二元均值定理的應用范圍極廣.推論和相關結論也很多.但其本身終究是由不等式的意義.性質推導出來的.凡是用它可以獲證的不等式.均可以直接根據不等式的意義.性質證得.因此.在算術平均數與幾何平均數定理的應用中.不可忽視不等式的意義.性質等概念在處理有關不等式論證方面的根本作用. 4.二元均值不等式不但可以處理兩個正數的和與積結構的不等式.結合不等式的性質還可以處理兩個正數的平方和.倒數和與其它變形式的結構.由公式a+b≥2ab和≥可以得到以下幾個重要結論: ① a+b≥-2ab (當且僅當a = -b時取“= 號), ② a+b≥2|ab| (當且僅當| a | = | b |時取“= 號), ③ a+b≥-2|ab| (當且僅當a = b= 0時取“= 號), ④ ≤≤≤ (a.b都是正數.當且僅當a = b時等號成立). 5.二元均值不等式還能處理幾個正數的平方和與和結構.倒數和與和結構.根式和與和結構及兩兩之積與和結構等不等式問題.但在處理這些結構型的不等式時.要注意與其它依據相結合來處理.常見結構的不等式的處理方法歸納如下: ⑴ab+bc+ca與a+b+c型 利用= a+b+c+2ab+2bc+2ca與a+b+c≥ab+bc+ ca相結合, ⑵a+b+c與a+b+c型 利用a+b+c≥ab+bc+ca乘以2再加上a+b+c即可, ⑶++與a+b+c型 只要在⑵中每個字母開方代換即可. 6.利用均值定理可以求函數或代數式的最值問題: ⑴當a.b都為正數.且ab為定值時.有a+b≥ .當且僅當a = b時取“= 號.此時a+b有最小值, ⑵當a.b都為正數.且a+b為定值時.有ab≤ .當且僅當 a = b時取“= 號.此時ab有最大值. 以上兩類問題可簡稱為“積大和小 問題. 7.創設應用算術平均數與幾何平均數定理使用的條件.合理拆分項或配湊 因式是經常用的解題技巧.而拆與湊的過程中.一要考慮定理使用的條件,二要考慮必須使和或積為定值,三要考慮等號成立的條件(當且僅當a = b時取“= 號).它具有一定的靈活性和變形技巧.高考中常被設計為一個難點. 8.二元均值定理具有將“和式 轉化為“積式 和將“積式 轉化為“和 式 的放縮功能.若所證不等式可變形成一邊為和.另一邊為積的形式.則可以考慮使用這一定理把問題轉化.其中“一正二定三相等 在解題中具有雙重功能.即對條件的制約作用.又有解題的導向作用. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

某中學舉辦“上海世博會”知識宣傳活動,現場的“抽卡有獎游戲”特別引人注目,游戲規則是:盒子中裝有8張形狀大小相同的精美卡片,卡片上分別印有“世博會吉祥物海寶”或“世博會會徽”,要求兩人一組參加游戲,參加游戲的兩人從盒子中輪流抽取卡片,一次抽1張,抽取后不放回,直到兩人中的一人抽到“世博會會徽”卡得獎才終止游戲.
(Ⅰ)游戲開始之前,一位高中生問:“盒子中有幾張‘世博會會徽’卡?”主持人說:“若從盒中任抽2張卡片不都是‘世博會會徽’卡的概率為
2528
”請你回答有幾張“世博會會徽”卡呢?
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,甲、乙兩人參加游戲,雙方約定甲先抽取乙后抽取,求甲獲獎的概率.

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甲、乙兩人參加奧運知識競賽,假設甲、乙兩人答對每題的概率分別為
2
3
3
5
,且答對一題得1分,答不對得0分.
(I)甲、乙兩人各答一題,求兩人得分之和ξ的分布列及數學期望;
(II)甲、乙兩人各答兩題,每人每答一題記為一次,求這四次答題中至少有一次答對的概率.

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某學校為了增強學生對消防安全知識的了解,舉行了一次消防安全知識競賽.其中一道題是連線題,要求將3種不同的消防工具與它們的用途一對一連線,規定:每連對一條得2分,連錯一條扣1分,參賽者必須把消防工具與用途一對一全部連起來.

(Ⅰ)設三種消防工具分別為,其用途分別為,若把連線方式表示為,規定第一行的順序固定不變,請列出所有連線的情況;

(Ⅱ)求某參賽者得分為0分的概率.

 

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某學校為了增強學生對消防安全知識的了解,舉行了一次消防安全知識競賽.其中一道題是連線題,要求將3種不同的消防工具與它們的用途一對一連線,規定:每連對一條得2分,連錯一條扣1分,參賽者必須把消防工具與用途一對一全部連起來.
(Ⅰ)設三種消防工具分別為,其用途分別為,若把連線方式表示為,規定第一行的順序固定不變,請列出所有連線的情況;
(Ⅱ)求某參賽者得分為0分的概率.

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(本題滿分13分)
  甲、乙兩人同時參加某電臺舉辦的有獎知識問答。約定甲,乙兩人分別回答4個問題,答對一題得1分,不答或答錯得0分,4個問題結束后以總分決定勝負。甲,乙回答正確的概率分別是,且不相互影響。求:
(1) 甲回答4次,至少得1分的概率;
(2) 甲恰好以3分的優勢取勝的概率。

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同步練習冊答案
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