Question

甲、乙兩人參加奧運知識競賽，假設甲、乙兩人答對每題的概率分別為

2

3

與

3

5

，且答對一題得1分，答不對得0分．
（I）甲、乙兩人各答一題，求兩人得分之和ξ的分布列及數學期望；
（II）甲、乙兩人各答兩題，每人每答一題記為一次，求這四次答題中至少有一次答對的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0，1，2．當變量取值是0時，表示甲、乙兩人都沒有答對每題；當變量取值是1時，表示甲、乙兩人有一個人答對一個題；當變量取值是2時，表示甲、乙兩人都答對每題，根據相互獨立事件同時發生的概率做出結果，寫出分布列，求出期望．
（2）甲、乙兩人各答兩題，每人每答一題記為一次，這四次答題中至少有一次答對的對立事件是甲、乙兩人各答兩題，這四次都沒答對，根據對立事件的概率公式得到結論．

解答：解：（I）依題意，記“甲答對一題”為事件A，
“乙答對一題”為事件B
則P(A)=

2

3

，P(B)=

3

5

，P(

.

A

)=

1

3

，P(

.

B

)=

2

5

甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0，1，2
∴ξ的分布列為
P(ξ=0)=P(

.

A

)P(

.

B

)=

2

15

；
P(ξ=1)=P(A)P(

.

B

)+P(

.

A

)P(B)=

2

3

×

2

5

+

1

3

×

3

5

=

7

15

P(ξ=2)=P(A)P(B)=

2

3

×

3

5

=

6

15

Eξ=0×

2

15

+1×

7

15

+2×

6

15

=

19

15

∴每人各答一題，兩人得分之和ξ的數學期望為

19

15

（II）“甲、乙兩人各答兩題，這四次都沒答對”的概率為

.

P

=

1

3

×

1

3

×

2

5

×

2

5

=

4

225

∴甲、乙兩人各答兩題，這四次答題中至少有一次答對的概率為
P=1-

.

P

=1-

4

225

=

221

225

即甲、乙兩人各答兩題，這四次答題中至少有一次答對的概率為

221

225

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．