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3. 已知函數是定義在R上的奇函數，當時，，則的值是(　　 )

A.2　　　　　　　 B.　　　　　　　　 C.3　　　　　　　 D.

2.若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是　 (　　　 )

A.　　　　 B.　　　　　　　 C.　　 　　 D.

1．已知函數，若，則的所有可能值為(　　 )

A.1　　　　　　　 B.1或　　　　　 C.　　　　　 D. 1或

9．(2003上海)如下圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22 m，要求通行車輛限高4．5 m，隧道全長2．5 km，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀．

(1)若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬l是多少？

(2)若最大拱高h不小于6 m，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最�。�

(半個橢圓的面積公式為S=lh，柱體體積為底面積乘以高．本題結果均精確到0．1 m)

(1)解：如下圖建立直角坐標系，則點P(11，4．5)，

橢圓方程為+=1．將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，得a=，此時l=2a=≈33．3．因此隧道的拱寬約為33．3 m．

(2)解法一：由橢圓方程+=1，得+=1．

因為+≥，即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=lh=≥．

當S取最小值時，有==，

得a=11，b=．

此時l=2a=22≈31．1，h=b≈6．4．

故當拱高約為6．4 m、拱寬約為31．1 m時，土方工程量最小．

解法二：由橢圓方程+=1，

得+=1．

于是b²=·．

a²b²=(a²－121++242)≥(2+242)=81×121，

即ab≥99，當S取最小值時，

有a²－121=．

得a=11，b=，以下同解法一．

10 (2006四川)已知兩定點滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線y＝kx－1與曲線E交于A、B兩點　 如果且曲線E上存在點C，使求　

解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，

且，易知

　　　 故曲線的方程為

　 設，由題意建立方程組

　消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有

　　　 解得

又∵

依題意得 　　整理后得

∴或　 但　 ∴

故直線的方程為

設，由已知，得

∴，

又，

∴點

將點的坐標代入曲線的方程，得

得，但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意

∴，點的坐標為

到的距離為　　

∴的面積

[探索題](2002春全國)已知某橢圓的焦點是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，過點F₂，并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且｜F₁B｜+｜F₂B｜＝10．橢圓上不同的兩點A(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)滿足條件：｜F₂A｜、｜F₂B｜、｜F₂C｜成等差數列．

(1)求該橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標；

(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx+m，求m的取值范圍．

(1)解：由橢圓定義及條件知

2a＝｜F₁B｜+｜F₂B｜＝10，得a＝5．又c＝4，

所以b＝＝3．

故橢圓方程為+＝1．

(2)解：由點B(4，y_B)在橢圓上，得｜F₂B｜＝｜y_B｜＝．

方法一：因為橢圓右準線方程為x＝，離心率為．

根據橢圓定義，有｜F₂A｜＝(－x₁)，｜F₂C｜＝(－x₂)．

由｜F₂A｜、｜F₂B｜、｜F₂C｜成等差數列，得

(－x₁)+(－x₂)＝2×．

由此得出x₁+x₂＝8．

設弦AC的中點為P(x₀，y₀)，

則x₀＝＝＝4．

方法二：由｜F₂A｜、｜F₂B｜、｜F₂C｜成等差數列，得+＝2×，　　　　　　　　 　　　　　　　 　 ①

由A(x₁，y₁)在橢圓+＝1上，得

y₁²＝(25－x₁²)，

所以

=

＝＝(25－4x₁)　　　　　　　　　　 　 ②

同理可得＝(25－4x₂)　　 　 ③

將②③代入①式，得

(25－4x₁)+(25－4x₂)＝．

所以x₁+x₂＝8．

設弦AC的中點為P(x₀，y₀)，

則x₀＝＝＝4．

(3)解法一：由A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)在橢圓上，得

9x₁²+25y₁²＝9×25，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ④

9x₂²+25y₂²＝9×25．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ⑤

由④－⑤得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)＝0，

即9()+25()()＝0(x₁≠x₂)．

將＝x₀=4，＝y₀，＝－(k≠0)代入上式，得

9×4+25y₀(－)＝0(k≠0)．

由上式得k＝y₀(當k＝0時也成立)．

由點P(4，y₀)在弦AC的垂直平分線上，得

y₀＝4k+m，

所以m＝y₀－4k＝y₀－y₀＝－y₀．

由P(4，y₀)在線段BB′(B′與B關于x軸對稱)的內部，得－＜y₀＜．

所以－＜m＜．

評述：在推導過程中，未寫明“x₁≠x₂”“k≠0”“k＝0時也成立”及把結論寫為“－≤m≤”也可以．

解法二：因為弦AC的中點為P(4，y₀)，

所以直線AC的方程為

y－y₀＝－(x－4)(k≠0)．　 　⑥

將⑥代入橢圓方程+＝1，得

(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²＝0．

所以x₁+x₂＝＝8．

解得k＝y₀(當k＝0時也成立)．

以下步驟同解法一．

8．(2005上海文)已知拋物線y²=2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5．過A作AB垂直于軸，垂足為B，OB的中點為M．

(1)求拋物線方程；

(2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；

(3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當K(m．0)是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系．

解：(1)拋物線y²=2px的準線為

∴拋物線方程為y²= 4x．

(2)∵點A的坐標是(4，4)， 由題意得B(0，4)，M(0，2)，

又∵F(1，0)， ∴

則FA的方程為y=(x－1)，MN的方程為

解方程組

(3)由題意得，圓M的圓心是點(0，2)，半徑為2．

當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時，直線AK與圓M相離，

當m≠4時，直線AK的方程為　 即為

圓心M(0，2)到直線AK的距離，令

時，直線AK與圓M相離；

　 當m=1時，直線AK與圓M相切；

　 當時，直線AK與圓M相交．

7．已知橢圓的焦點是F₁(－1，0),F₂(1，0),P為橢圓上的一點,且|F₁F₂|是|PF₁|和|PF₂|的等差中項。(1)求橢圓方程； (2)若點P在第三象限，且∠P F₁F₂=120⁰，求tan∠F₁PF₂。

解：(1)由題設2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，c=1。∴2a=4，∴b=。∴橢圓方程為。

(2)設∠F₁PF₂=θ,則∠PF₂ F₁=60⁰－θ,由正弦定理并結合等比定理可得到

,

∴化簡可得,∴,

從而可求得tan∠F₁PF₂=。

思維點撥：解與△P F₁F₂有關的問題(P為橢圓上的點)常用正弦定理或余弦定理，并且結合|PF₁|+|PF₂|=2a來求解。

6．(2005江西)以下同個關于圓錐曲線的命題中

①設A、B為兩個定點，k為非零常數，，則動點P的軌跡為雙曲線；

②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓；

③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線有相同的焦點．

其中真命題的序號為　　　　　　　　 (寫出所有真命題的序號)

簡答提示：1－4．DAAD；　5．；　6．③④．

[解答題]

5．(2005江蘇卷)點P(-3，1)在橢圓的左準線上，過點P且方向為的光線，經直線反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為_______

4．(2006湖北)設過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若,且=1,則P點的軌跡方程是(　)

A． 3x²+y²=1 (x>0,y>0)　　　　　 B．3x²-y²＝1(x>0, y>0)

C．x²-3y²=1(x>0,y>0)　　　　　　 D． x²+3y²=1(x>0,y>0)

[填空題]

3．(2006遼寧)曲線與曲線的　 (　)

A．焦距相等　　　　　　　　　　　　　　 B．離心率相等

C．焦點相同　　　　　　　　　　　　　　 D．準線相同