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例1. 如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，側面底面．

(1)與是否相互垂直，請證明你的結論；

(2)求二面角的大小；

(3)求證：平面⊥平面．

　 解：(1)與相互垂直.證明如下：

取的中點，連結，交于點；連結．

∵，∴．又∵平面⊥平面，

平面∩平面，∴⊥平面．

在梯形中，可得，

∴，　　　

即，　 ∴ ．

(2)連結，　

由⊥平面，，可得，　

∴為二面角的平面角，

設，則在中，

　 ∴二面角為 ．

(3)取的中點，連結，由題意知：平面⊥平面，

則同“(1)”可得平面．

取的中點，連結，則由，

，得四邊形為平行四邊形.　 ∴，

∴⊥平面．∴平面⊥平面．

　 解答二：

取的中點，由側面⊥底面，

是等邊三角形，

得⊥底面．

以為原點，以所在直線為軸，

過點與平行的直線為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則在直角梯形中，，

在等邊三角形中，．∴

(1)與相互垂直.證明如下：∵

∴．

(2)連結，設與相交于點；連結．

由得．

又∵為在平面內的射影，

∴，為二面角的平面角．

在中，．

在中，．

∴二面角為．

(3)取的中點，連結，則的坐標為．

又，，

∴

．

∴

∴⊥平面．　 ∴平面⊥平面．

小結：三垂線定理是求二面角的平面角的又一常用方法．

例2.在的二面角中，，已知、到的距離分別是和，且，、在的射影分別為、，求：(1)的長度；(2)和棱所成的角．

例3.棱長為4的正方體中，是正方形的中心，點在棱上，且．

　　　 (Ⅰ)求直線與平面所成的角的大小(結果用反三角函數值表示)；

　　　 (Ⅱ)設點在平面上的射影是，求證：．

例4. 在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，，分別是的中點．

(1)證明；　　　　　　　　　　　　　　

(2)求二面角的大小；

(3)求點到平面的距離．

例5. 如圖，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的側棱AA₁的長為a，底面ABCD是邊長AB=2a，BC=a的矩形，又E是C₁D₁的中點；

(1)CE與BD₁所成角的余弦值；

(2)求證：平面BCE⊥平面BDE；

(3)求二面角B－DC₁－C的平面角的大小

4．在四面體中，兩兩垂直，且，是中點，異面直線所成的角為，則二面角的大小為　　　　　　　 　　．

3．對于平面幾何中的命題：“如果兩個角的兩邊分別對應垂直，那么這兩個角相等或互補”，在立體幾何中，類比上述的命題，可以得到命題：　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 ，這個命題的真假性是　　　　　　 ．

2．已知分別是正方體的棱的中點，則截面與底面所成二面角的正弦值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

1．二面角內有一點，若到平面的距離分別是，且在平面的內的射影的距離為，則二面角的度數是　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

6．求二面角平面角大小的一般方法：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

5．二面角的平面角：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

4．二面角的概念：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

3．最小角定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

2．直線與平面所成角：

　　　 (1)直線與平面平行或直線在平面內，則　　　　 ．

　　　 (2)直線與平面垂直，則　　　　 ．

　　　 (3)直線是平面的斜線，則定義為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．