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1、（2009番禺一模）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項之積為，若＝，則必有（ 　）

A．＝1　　　   　  B．＝1　　　    C．＝1　　 　  D．＝1

B

2、（2009江門一模）已知數(shù)列的前項和，是等比數(shù)列的充要條件是

A.        B           C.              D.

D

3、（2009茂名一模）已知等差數(shù)列的公差為，且成等比數(shù)列，則等于（   ）

A、-4               B、-6              C、-8          D、8

D

4、（2009汕頭一模）記等比數(shù)列｛a_n｝的前n項和為S_n，若S₃＝2，S₆＝18，則等于（）

  A. - 3 　　B?5　　 C一31　　　D. 33

D

5、（2009深圳一模）在等差數(shù)列中，，表示數(shù)列的前項和，則

A．                        B．                         C．                      D．

B

1、（2009廣州一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N*

都有，且1<S_k<9，則a₁的值為______，k的的值為________.

－1,4

2、（2009江門一模）是等差數(shù)列的前項和，若，，

則         ．

3、（2009韶關(guān)一模）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中,

則___.

16

1、（2009廣州一模）已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，且a₁=1.

(1)求證：數(shù)列{ a_n－×2ⁿ}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項的和，問是否存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n>0對任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.     

(本題主要考查數(shù)列的通項公式、數(shù)列前n項和、不等式等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力)

(1)證法1：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                        ……2分

由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，故數(shù)列

是首項為，公比為－1的等比數(shù)列.                 ……4分

證法2：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                        ……2分

∵，

故數(shù)列是首項為，公比為－1的等比數(shù)列.             

   ……4分

(2)解：由(1)得，即，

∴

                             ……6分

∴S_n=a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n=[(2+2²+2³+…+2ⁿ)－[(－1)+ (－1)²+…+(－1)ⁿ]

，                        ……8分

要使得b_n－λS_n>0對任意n∈N^*都成立，

即對任意n∈N*都成立.

①當(dāng)n為正奇數(shù)時，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對任意正奇數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

①當(dāng)n為正奇數(shù)時，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對任意正奇數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

②當(dāng)n為正偶數(shù)時，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ－1>0，∴對任意正偶數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，有最小值1.5，∴λ<1.5.      ……12分

綜上所述，存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n>0對任意n∈N^*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).                                            ……14分

2、（2009廣東三校一模）,是方程的兩根,數(shù)列的前項和為,且

(1)求數(shù)列,的通項公式;

(2)記=,求數(shù)列的前項和.

 解：(1)由.且得           2分

,                      4分

在中,令得當(dāng)時,T=,

兩式相減得,      6分

.                   8分

(2),                        9分

,,     10分

=2

=,               13分

                 14分     

3、（2009東莞一模）設(shè)等差數(shù)列前項和滿足，且，S₂=6；函數(shù)，且

   （1）求A； 

（2）求數(shù)列的通項公式；

   （3）若

_{解：（1）由}   而

  解得A=1……………………………………2分

（2）令  

當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2,當(dāng)n≥2時，a_n=S_n－S_n-1=n²+n

綜合之：a_n=2n…………………………………………6分

由題意

∴數(shù)列{c_n+1}是為公比，以為首項的等比數(shù)列。

………………………9分

（3）當(dāng)

………………………11分

當(dāng)

………13分

綜合之：

………14分

4、（2009番禺一模）設(shè)數(shù)列對一切正整數(shù)均有，且 ，如果，．

（1）求，的值；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）設(shè)數(shù)列前項之積為，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

（1）依題意：，則，

而，又，所以，                       ………………1分

同樣可求得，                                       ………………2分

（2）猜測，）                            ………………4分

①用數(shù)學(xué)歸納法證明：顯然時猜想正確，                    ………………5分

②假設(shè)時猜想成立，即，

則時，∵，∴，即，而

故,                             ………………6分

這就是說猜想也成立,故對任意正整數(shù)都有． ………………7分

（3）                                                ……………9分

證明: ，

則，           ………10分

則                          

 ∴        ………11分

設(shè),，則，

即為上的減函數(shù)，∴，故時，，  ……12分

而，∴，

∴                                        ………13分

∴，，

則，即．                                          14分

5、（2009江門一模）已知等差數(shù)列和正項等比數(shù)列，，．

⑴求、；

⑵對，試比較、的大小；

⑶設(shè)的前項和為，是否存在常數(shù)、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，說明理由．

解：⑴由，得-------1分   由且得-------2分

所以，-------4分

⑵顯然，時，；時，，，-------5分

時，

-------6分  -------7分

因為、，所以時，-------8分

⑶-------9分，

恒成立，則有-------11分，解得，-------12分

，

-------13分

所以，當(dāng)，時，恒成立-------14分

6、（2009汕頭一模）在等比數(shù)列｛a_n｝中，a_n＞0 (nN^＊），公比q(0,1)，且a₁a₅ + 2a₃a₅ +a ₂a₈＝25，

a₃與a_s的等比中項為2。

    （1)求數(shù)列｛a_n｝的通項公式；

  (2)設(shè)b_n＝log₂ a_n，數(shù)列｛b_n｝的前n項和為S_n當(dāng)最大時，求n的值。

解：（1）因為a₁a₅ + 2a₃a₅ +a ₂a₈＝25，所以， + 2a₃a₅ +＝25

    又a_n＞o，…a₃＋a₅＝5，…………………………2分

又a₃與a₅的等比中項為2，所以，a₃a₅＝4

而q（0,1），所以，a₃＞a₅，所以，a₃＝4，a₅＝1，，a₁＝16，所以，

…………………………6分

（2）b_n＝log₂ a_n＝5－n，所以，b_n＋1－b_n＝－1，

所以，{b_n}是以4為首項，－1為公差的等差數(shù)列。。。。。。。。。9分

所以，  

所以，當(dāng)n≤8時，＞0，當(dāng)n＝9時，＝0，n＞9時，＜0，

當(dāng)n＝8或9時，最大。　　…………………………12分

7、（2009韶關(guān)一模）已知函數(shù)

（I）求

（II）已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式;

(Ⅲ) 求證:.

解:()因為

所以設(shè)S=（1）

        S=……….(2)

(1)+(2)得:

   =,   所以S=3012

()由兩邊同減去1,得

所以,

所以,是以2為公差以為首項的等差數(shù)列,

所以

因為

    所以

所以

>

8、（2009深圳一模理）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）若數(shù)列滿足：，（），求數(shù)列的通項；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，（）．

（?）當(dāng)時，數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，請求出數(shù)列的通項；若不是，請說明理由；

（?）當(dāng)時， 求證：．

【解】（Ⅰ），                 …………………………1分

，

即．                         …………………………3分

，   數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．

，即．                  …………………………5分

（Ⅱ）（?），

．

當(dāng)時，．

假設(shè)，則．

由數(shù)學(xué)歸納法，得出數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，是等差數(shù)列，其通項為．   …………8分

（?）， ．

當(dāng)時，．

假設(shè)，則 ．

由數(shù)學(xué)歸納法，得出數(shù)列．……………10分

又，

，

即．                 …………………………12分

．

，

．                 　   …………………………14分

10、（2009深圳一模文）設(shè)數(shù)列的前項和為，，且對任意正整數(shù),點在直線上.

(Ⅰ) 求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，則說明理由.

（Ⅲ）求證： .

解：(Ⅰ)由題意可得：

                      ①

時,              ②         ……………………  1分

  ①─②得，                       ……………………  3分

是首項為，公比為的等比數(shù)列，  ………………  4分

（Ⅱ）解法一:                    ………………  5分

若為等差數(shù)列，

則成等差數(shù)列,       ………………  6分

得                                             ………………  8分

又時，，顯然成等差數(shù)列，

故存在實數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列.  ………………  9分

解法二:                              ………………  5分

     ……………  7分

欲使成等差數(shù)列,只須即便可.      ……………8分

故存在實數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列.     ………………  9分

（Ⅲ）   ……  10分

                  …………  11分

                               …………  12分

又函數(shù)在上為增函數(shù)，   

，                                    …………  13分

，． ………  14分