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20.(本小題滿分12分)

水庫的蓄水量隨時間而變化，現用表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于的近似函數關系式為

（Ⅰ）該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以表示第1月份（）,同一年內哪幾個月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取計算）.

解：本小題主要考查函數、導數和不等式等基本知識，考查用導數求最值和綜合運用數學知識解決實際問題能力.（滿分12分）

（Ⅰ）①當時，，化簡得,

解得，或，又，故.

②當時，，化簡得,

解得，又,故.

綜合得,或；

故知枯水期為1月，2月，3月，11月，12月共5個月.

(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.

由V′（t）= 

令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

當t變化時，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

t

(4,8)

8

(8,10)

V′(t)

+

0

-

V(t)

得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，

∴.

.                                      ②

設E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),則由①式得

｜x₁-x₂｜=           ③

當E、F在同一去上時（如圖1所示），

S_△OEF＝

當E、F在不同支上時（如圖2所示）.

S_△ODE=

綜上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面積不小于2

     　④

綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為

(Ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，

                       ②

設E（x，y），F(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=,于是

｜EF｜＝

＝

而原點O到直線l的距離d＝，

∴S_△DEF=

若△OEF面積不小于2,即S_△OEF，則有

        ③

綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為 

解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

｜AB｜＝4.

∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.

設雙曲線的方程為＞0，b＞0）.

解得a²=b²=2,

∴曲線C的方程為

則c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²-a²=2.

∴曲線C的方程為.

解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.

設實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，

19.（本小題滿分13分）

如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點，

，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點.

（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線的方程；

（Ⅱ）設過點的直線l與曲線相交于不同的兩點、.

若△的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.

解：本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力.（滿分13分）

（Ⅰ）解法1：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得

18.（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱中，平面側面.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關系，并予以證明.

解：本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關系等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力.（滿分12分）

（Ⅰ）證明：如右圖，過點A在平面A₁ABB₁內作

AD⊥A₁B于D，則

由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁,且平面A₁BC側面A₁ABB₁=A₁B,得

AD⊥平面A₁BC,又BC平面A₁BC，

所以AD⊥BC.

因為三棱柱ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

則AA₁⊥底面ABC，

所以AA₁⊥BC.

又AA₁AD=A,從而BC⊥側面A₁ABB₁，

又AB側面A₁ABB₁，故AB⊥BC.

（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A₁BC所成的角，

是二面角A₁―BC―A的平面角，即

于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，

由AB＜AC，得又所以

解法2：由（Ⅰ）知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分

別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AA₁=a,AC=b,

AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是

設平面A₁BC的一個法向量為n=(x,y,z)，則

由得

可取n=(0,-a,c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角.

所以

于是由c＜b，得

即又所以

當a=-2時，由1＝-2×1.5+b，得b=4.                                                     

∴或即為所求.

當a=2時，由1＝2×1.5+b,得b=-2;