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f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0，   f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．

因為|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．

當b+c≠0時，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數．

因為|b|＜1，|c|＜1，

當b+c=0時，即b=-c，    f(a)=bc+1=-c2+1．

f(a)=(b+c)a+bc+1．

(2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構造函數f(x)=(b+c)x+bc+1．則

當k＜0時，函數f(x)=kx+h在x∈R上是減函數，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．

所以對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．

分析：問題(1)實質上是要證明，一次函數f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若區間兩個端點的函數值均為正，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性質是由于一次函數是單調的．因此本問題的證明要從函數單調性入手．

(1)證明：

當k＞0時，函數f(x)=kx+h在x∈R上是增函數，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則ab+bc+ca＞-1．

分析：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)．它們的交點橫坐標，顯然在區間(1，3)內，由此可排除A，D．至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實際上這是要比較與2的大小．當x=2時，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應選C．

說明：本題是通過構造函數用數形結合法求方程lgx+x=3解所在的區間．數形結合，要在結合方面下功夫．不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數值，通過比較其大小進行判斷．

例11．(1)一次函數f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，試證明之；

(2)試用上面結論證明下面的命題：

4．樹立函數思想，使學生善于用運動變化的觀點分析問題．

本部分內容的重點是：通過對問題的講解與分析，使學生能較好的調動函數的基礎知識解決問題，并在解決問題中深化對基礎知識的理解，深化對函數思想、數形結合思想的理解與運用．

難點是：函數思想的理解與運用，推理論證能力、綜合運用知識解決問題能力的培養與提高．

函數的綜合運用主要是指運用函數的知識、思想和方法綜合解決問題．函數描述了自然界中量的依存關系，是對問題本身的數量本質特征和制約關系的一種刻畫，用聯系和變化的觀點提出數學對象，抽象其數學特征，建立函數關系．因此，運動變化、相互聯系、相互制約是函數思想的精髓，掌握有關函數知識是運用函數思想的前提，提高用初等數學思想方法研究函數的能力，樹立運用函數思想解決有關數學問題的意識是運用函數思想的關鍵．

1．準確理解、熟練運用，不斷深化有關函數的基礎知識

在中學階段函數只限于定義在實數集合上的一元單值函數，其內容可分為兩部分．第一部分是函數的概念和性質，這部分的重點是能從變量的觀點和集合映射的觀點理解函數及其有關概念，掌握描述函數性質的單調性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七類常見函數(一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數)的圖象和性質．第一部分是理論基礎，第二部分是第一部分的運用與發展．

例9．已知函數f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的個數是．（　　　 ）

A．0       B．1      C．0或1      D．1或2

分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉化成熟悉的語言．從函數觀點看，問題是求函數y=f(x)，x∈F的圖象與直線x=1的交點個數(這是一次數到形的轉化)，不少學生常誤認為交點是1個，并說這是根據函數定義中“惟一確定”的規定得到的，這是不正確的，因為函數是由定義域、值域、對應法則三要素組成的．這里給出了函數y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關系，當1∈F時有1個交點，當1 F時沒有交點，所以選C．

2．掌握研究函數的方法，提高研究函數問題的能力

高中數學對函數的研究理論性加強了，對一些典型問題的研究十分重視，如求函數的定義域，確定函數的解析式，判斷函數的奇偶性，判斷或證明函數在指定區間的單調性等，并形成了研究這些問題的初等方法，這些方法對分析問題能力，推理論證能力和綜合運用數學知識能力的培養和發展是十分重要的．

函數、方程、不等式是相互聯系的．對于函數f(x)與g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)則分別構成方程和不等式，因此對于某些方程、不等式的問題用函數觀點認識是十分有益的；方程、不等式從另一個側面為研究函數提供了工具．

例10．方程lgx+x=3的解所在區間為（　　　 ）

A．(0，1)          B．(1，2)

C．(2，3)          D．(3，+∞)