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3．用數形結合的思想、分類討論的思想和轉化變換的思想分析解決數學問題．

2．會利用函數圖象，進一步研究函數的性質，解決方程、不等式中的問題．

1．掌握描繪函數圖象的兩種基本方法――描點法和圖象變換法．

分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：①使log(2-ax)有意義，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的減函數．由于所給函數可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0時為減函數，所以必須a＞1；③[0，1]必須是y=log(2-ax)定義域的子集．

解法一：因為f(x)在［0，1］上是x的減函數，所以f(0)＞f(1)，

即log2＞log(2-a)．

解法二：由對數概念顯然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是減函數，y= logu應為增函數，得a＞1，排除A，C，再令

故排除D，選B．

說明：本題為1995年全國高考試題，綜合了多個知識點，無論是用直接法，還是用排除法都需要概念清楚，推理正確．

3．函數單調性與奇偶性的綜合運用

例6．甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km／h，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km／h)的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元．

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km／h)的函數，并指出這個函數的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛．

分析：(1)難度不大，抓住關系式：全程運輸成本=單位時間運輸成本×全程運輸時間，而全程運輸時間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決．

故所求函數及其定義域為

但由于題設條件限制汽車行駛速度不超過ckm／h，所以(2)的解決需要

論函數的增減性來解決．

由于vv＞0，v-v＞0，并且

又S＞0，所以即

則當v=c時，y取最小值．

說明：此題是1997年全國高考試題．由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大．

（二）函數的圖象

3．培養學生用運動變化的觀點分析問題，提高學生用換元、轉化、數形結合等數學思想方法解決問題的能力．

這部分內容的重點是對函數單調性和奇偶性定義的深入理解．

函數的單調性只能在函數的定義域內來討論．函數y=f(x)在給定區間上的單調性，反映了函數在區間上函數值的變化趨勢，是函數在區間上的整體性質，但不一定是函數在定義域上的整體性質．函數的單調性是對某個區間而言的，所以要受到區間的限制．

對函數奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質是：函數的定義域關于原點對稱．這是函數具備奇偶性的必要條件．稍加推廣，可得函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函數的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映．

這部分的難點是函數的單調性和奇偶性的綜合運用．根據已知條件，調動相關知識，選擇恰當的方法解決問題，是對學生能力的較高要求．

1．對函數單調性和奇偶性定義的理解

例4．下面四個結論：①偶函數的圖象一定與y軸相交；②奇函數的圖象一定通過原點；③偶函數的圖象關于y軸對稱；④既是奇函數又是偶函數的函數一定是f(x)=0(x∈R)，其中正確命題的個數是　　 （　　　 ）

A．1　　　　　　 B．2            C．3　　　　　　 D．4

分析：偶函數的圖象關于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤．

奇函數的圖象關于原點對稱，但不一定經過原點，因此②不正確．

若y=f(x)既是奇函數，又是偶函數，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④錯誤，選A．

說明：既奇又偶函數的充要條件是定義域關于原點對稱且函數值恒為零．

2．復合函數的性質

復合函數y=f[g(x)]是由函數u=g(x)和y=f(u)構成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數關系，函數u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集．

復合函數的性質由構成它的函數性質所決定，具備如下規律：

(1)單調性規律

如果函數u=g(x)在區間［m，n］上是單調函數，且函數y=f(u)在區間[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是單調函數，那么

若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復合函數y=f[g(x)]為增函數；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=f[g(x)]為減函數．

(2)奇偶性規律

若函數g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關于原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數時，y=f[g(x)]是奇函數；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數，或者一奇一偶時，y= f[g(x)]是偶函數．

例5．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的減函數，則a的取值范圍是（ 　）

A．(0，1)     B．(1，2)      C．(0，2)       D．[2，+∞)

2．從數形結合的角度認識函數的單調性和奇偶性，深化對函數性質幾何特征的理解和運用，歸納總結求函數最大值和最小值的常用方法．

1．正確理解函數單調性和奇偶性的定義，能準確判斷函數的奇偶性，以及函數在某一區間的單調性，能熟練運用定義證明函數的單調性和奇偶性．

即當a≤0時,g(a)>0恒成立,故  ≤4.

綜上討論,x的取值范圍是(,4).

例9．設集合A={}

(1)若A中有且只有一個元素,求實數a的取值集合B；

(2)當a∈B時,不等式x²-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范圍.

解：(1)令t=2^x,則t>0且方程化為t²-2t+a=0  (*),A中有且只有一個元素等價于方程(*)有且只有一個正根,再令f(t)=t²-2t+a,

則Δ=0  或即a=1或a≤0,從而B=(-,0]∪{1}.

(2)當a=1時,<x<3+,

當a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x²-5x-6),則當a≤0時不等式  恒成立,

例8．過坐標原點的直線l與橢圓相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的左焦點F,求直線l的傾斜角.

解：設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

     直線l的方程為y=kx,將它代入橢圓方

程整理得   (*)

由韋達定理,(1),(2)

    又F(1,0)且AF⊥BF,∴,    即  ,

    將,代入上式整理得  ,

    將(1)式,(2)式代入,解得  .    故直線l的傾斜角為或.

注：本題設交點坐標為參數,“設而不求”,以這些參數為橋梁建立斜率為k的方程求解.