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7．定義運算，

6．直線的位置關系是（    ）

       A．相離                  B．相切                   C．相交                  D．不能確定

       A．                     B．                      C．                     D．

5．甲、乙、丙三名同學站成一排，甲站在中間的概率是                                        （    ）

4．二項式的展開式中，常數(shù)項為                                                         （    ）

       A．30                     B．48                      C．60                     D．120

3．在等差數(shù)列=                                          （    ）

       A．2                       B．8                        C．18                     D．36

2．“”是“成立”的                                                       （    ）

       A．充分不必要條件                                B．必要不充分條件

       C．充分必要條件                                    D．既不充分也不必要條件

       A．                  B．―                C．1                       D．―1

1．=                                                                                                        （    ）

　　（Ⅰ）設{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為S_n，其中a₁=3.若點(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證：點（n,S_n）也在y=f′(x)的圖象上；

　　（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內的極值.

（20）（本小題滿分12分）

　　　某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科

　　　目B的考試.已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證

　　　書.現(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試

　　　成績合格的概率均為.假設各次考試成績合格與否均互不影響.

　　（Ⅰ）求他不需要補考就可獲得證書的概率；

　　（Ⅱ）在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學期望E.

（21）（本小題滿分12分）

　　　如圖、橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；

　　（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，值有,求a的取值范圍.

（22）（本小題滿分14分）

　　　已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x₁

（Ⅰ）求f(x)的單調區(qū)間；

　　（Ⅱ）記f(x)在區(qū)間（n∈N*）上的最小值為b_x令a_n=ln(1+n)-b_x.

    （Ⅲ）如果對一切n，不等式恒成立，求實數(shù)c的取值范圍；

（Ⅳ）求證：

2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）

數(shù)  學（理工類）

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

(1)若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為

A.1                       B.2                       C.1或2                D.-1

解：由得,且（純虛數(shù)一定要使虛部不為0）

(2)設集合,,那么“mA”是“mB”的

A.充分而不必要條件                       B.必要而不充分條件

C.充要條件                                     D.既不充分也不必要條件

解：由得,可知“”是“”的充分而不必要條件

(3)設｛a_n｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若,則數(shù)列前7項的和為

A.63                     B.64                     C.127                    D.128

     解：由及｛a_n｝是公比為正數(shù)得公比，所以

(4)函數(shù),若，則的值為

A.3              B.0              C.-1                      D.-2

解：為奇函數(shù)，又

故即.

(5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是

A.                 B.        C.                D.

    解：獨立重復實驗，

(6)如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2,AA₁=1,則BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為  A.                                B.              

         C.                              D.

解：連與交與O點,再連BO,則為BC₁與平面BB₁D₁D所成角.

    ，，

(7)某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為

A.14                   B.24                        C.28              D.48

    解：6人中選4人的方案種，沒有女生的方案只有一種，

所以滿足要求的方案總數(shù)有14種

(8)若實數(shù)x、y滿足   則的取值范圍是

A.(0,1)                  B.                C.(1,+)              D.

解：由已知，，又，故的取值范圍是

      (9)函數(shù)的圖象按向量 平移后，得到函數(shù)的圖象，

則m的值可以為

A.                    B.                            C.－           D.－        

解：,而的圖象按向量 平移后

得到,所以，故可以為.

(10)在△ABC中，角ABC的對邊分別為a、b、c,若,則角B的值為

A.                    B.             C.或           D. 或

解：  由得即

,又在△中所以B為或

(11)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂,若P為其上一點，且|PF₁|=2|PF₂|,則雙曲線離心率的取值范圍為A.(1,3)           B.          C.(3,+)       D.

解：如圖，設，，當P在右頂點處，

∵，∴

另外也可用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊,但要注意前者可以取到等號成立,因為可以三點一線. 也可用焦半徑公式確定a與c的關系。

    (12) 已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如下圖，那么圖象可能是

    解：從導函數(shù)的圖象可知兩個函數(shù)在處斜率相同,可以排除B答案,再者導函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)增加的快慢,可明顯看出的導函數(shù)是減函數(shù),所以原函數(shù)應該增加的越來越慢，排除AC,最后就只有答案D了,可以驗證y=g(x)導函數(shù)是增函數(shù)，增加越來越快.

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

（13）若,則 (用數(shù)字作答)

解：令，令得

    所以

(14) 若直線與圓 （為參數(shù)）沒有公共點，

則實數(shù)m的取值范圍是         

解：圓心為，要沒有公共點，根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑可得

，即，

（15）若三棱錐的三個側圓兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是　　　　

解：依題可以構造一個正方體,其體對角線就是外接球的直徑.

 ,

（16）設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、　∈P（除數(shù)b≠0），則稱P是一個數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題：

　　　①整數(shù)集是數(shù)域；                         ②若有理數(shù)集，則數(shù)集M必為數(shù)域；

③數(shù)域必為無限集；                  ④存在無窮多個數(shù)域.

其中正確的命題的序號是　　　　.（把你認為正確的命題的序號填填上）

 解：①對除法如不滿足，所以排除，

②取,對乘法, ③④的正確性容易推得。

（17）（本小題滿分12分）

　　　已知向量m=(sinA,cosA),n=，m?n＝1，且A為銳角.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求函數(shù)的值域.

解：（Ⅰ） 由題意得 

　　　　　由A為銳角得

　　 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知

　　　　　所以

　　　　　因為x∈R，所以，因此，當時，f(x)有最大值.

　　　　　當時，有最小值-3,所以所求函數(shù)的值域是

（18）（本小題滿分12分）

　　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.

（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求異面直線PD與CD所成角的大小；

（Ⅲ）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出　的值；若不存在，請說明理由.

　解法一：

　　（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD,O為AD中點，所以PO⊥AD,

又側面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,

有OD∥BC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.

因為AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,

所以OB＝，

在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以異面直線PB與CD所成的角是.

（Ⅲ）假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為.

　　　設QD＝x，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，

　　　在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP,

由V_p-DQC=V_Q-PCD,得2，所以存在點Q滿足題意，此時.

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

    所以

所以異面直線PB與CD所成的角是arccos，

 (Ⅲ)假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為，

由(Ⅱ)知

設平面PCD的法向量為n=(x₀,y₀,z₀).

則所以即，

取x₀=1,得平面PCD的一個法向量為n=(1,1,1).

設由，得

解y=-或y=(舍去)，此時，

所以存在點Q滿足題意，此時.

（19）（本小題滿分12分）

　　　已知函數(shù).

　　（Ⅰ）設是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為，其中.若點(n∈N*)在函數(shù)的圖象上，求證：點也在的圖象上；

　　（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間內的極值.

解：(Ⅰ)證明：  因為所以，

由點在函數(shù)的圖象上,

，  又

           所以，是的等差數(shù)列

          所以,又因為,所以,

          故點也在函數(shù)的圖象上.

 (Ⅱ)解:,令得.

當x變化時,?的變化情況如下表:

x

(-∞,-2)

-2

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

注意到,從而

①當,此時無極小值；

②當?shù)臉O小值為,此時無極大值；

③當既無極大值又無極小值.

（20）（本小題滿分12分）

　　　某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科

　　　目B的考試。已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證

　　　書。現(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試

　　　成績合格的概率均為.假設各次考試成績合格與否均互不影響.

　　（Ⅰ）求他不需要補考就可獲得證書的概率；

　　（Ⅱ）在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學期望E.

    解：設“科目A第一次考試合格”為事件，“科目A補考合格”為事件；“科目B第一次考試合格”為事件，“科目B補考合格”為事件

    (Ⅰ)不需要補考就獲得證書的事件為,注意到與相互獨立，

則.

答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為.

(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得

故

答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學期望為.

（21）（本小題滿分12分）

　　　如圖、橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.

　　　（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；

　   （Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，值有,求a的取值范圍.

      解：(Ⅰ)設M，N為短軸的兩個三等分點，

因為△MNF為正三角形，

              所以,

              因此，橢圓方程為

(Ⅱ) 設

           (?)當直線 AB與x軸重合時，

           (?)當直線AB不與x軸重合時，

              設直線AB的方程為：

               整理得

               所以

               因為恒有，所以AOB恒為鈍角.

               即恒成立.

              又，所以對恒成立，

即對恒成立,當時，最小值為0，

所以， ,

因為，即,

解得或(舍去)，即,

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為.

（22）（本小題滿分14分）

　　　已知函數(shù)

（Ⅰ）求的單調區(qū)間；

　　（Ⅱ）記在區(qū)間（n∈N*）上的最小值為令

        ①如果對一切n，不等式恒成立，求實數(shù)c的取值范圍；

②求證：

  解：

（I）因為，所以函數(shù)定義域為，且。

由得，的單調遞增區(qū)間為；

由<0得，的單調遞增區(qū)間為（0，+）.

(II) 因為在上是減函數(shù)，所以

則.

①

>

又lim,

因此，即實數(shù)c的取值范圍是.

② 由① 知

因為[]²

所以＜(nN^*),

則＜