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例1、（2000年全國高考題）橢圓的焦點為FF，點P為其上的動點，當∠FP F為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是___。

解：F₁（－,0）F₂（,0）,設P（3cos,2sin）

為鈍角

∴  

     =9cos²－5＋4sin²=5 cos²－1<0

     解得：  ∴點P橫坐標的取值范圍是（）

點評：解決與角有關的一類問題，總可以從數量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉化為向量的數量積為負值，通過坐標運算列出不等式，簡潔明了。

4.（天津卷20）（本小題滿分12分） 已知函數在處取得極值。

(I)討論和是函數的極大值還是極小值；

(II)過點作曲線的切線，求此切線方程。

（江蘇卷10）函數在閉區間[-3，0]上的最大值、最小值分別是  (   )

(A)1，-1        (B)1，-17       (C)3，-17       (D)9，-19

（浙江卷11）設f '(x)是函數f(x)的導函數，y=f '(x)的圖象

如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是

(A)               (B)               (C)                (D)

（浙江卷20）設曲線y=e^-x(x≥0)在點M(t,e^-t}處的切線l與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t).
(1)求切線l的方程；(2)求S(t)的最大值。

3.(天津卷9)函數)為增函數的區間是

   (A)    (B)    (C)    (D)

(i)求函數f(x)的最大值；(ii)設0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

2．（全國卷22）（本小題滿分14分）已知函數f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

1．（全國卷10）函數y=xcosx-sinx在下面哪個區間內是增函數（   ）

    A ()        B (π,2π)        C ()        D (2π,3π)

例10．（2001年天津卷）設，是上的偶函數。

（I）求的值；  （II）證明在上是增函數。

解：（I）依題意，對一切有，即，

∴對一切成立，

由此得到，，    又∵，∴。

（II）證明：由，得，

當時，有，此時。∴在上是增函數。

　例9．已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為和。

　　（1）求A、B兩點的坐標； （2）求直線與的夾角。

　　分析：理解導數的幾何意義是解決本例的關鍵。

　　解  （1）由方程組

　　    解得 A(-2，0)，B(3，5)

　　（2）由y′=2x，則，。設兩直線的夾角為θ，根據兩直線的夾角公式，

　　       所以

　　說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。

例8．設，求函數的單調區間.

分析：本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力.

解：.

當時   .

（i）當時，對所有，有.

即，此時在內單調遞增.

（ii）當時，對，有，

即，此時在（0，1）內單調遞增，又知函數在x=1處連續，因此，

函數在（0，+）內單調遞增

（iii）當時，令，即.

解得.

因此，函數在區間內單調遞增，在區間

內也單調遞增.

令，解得.

因此，函數在區間內單調遞減.

例7．利用導數求和：

　　（1）；

　　（2）。

　　分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉換思維角度，由求導公式，可聯想到它們是另外一個和式的導數，利用導數運算可使問題的解決更加簡捷。

　　解：（1）當x=1時，

　　；

　　當x≠1時，

　　∵，

　　兩邊都是關于x的函數，求導得

　　即

　　（2）∵，

　　兩邊都是關于x的函數，求導得。

　　令x=1得

　　，

　　即。