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例6．求證下列不等式

（1） 

（2） 

（3） 

證：（1）  

∴ 為上    ∴    恒成立

∴     

∴ 在上  ∴  恒成立

（2）原式   令     

∴    ∴     

       ∴

（3）令  

     ∴

∴

例5． 求下列函數單調區間

（1）      （2）

（3）                （4）

解：（1）  時

   ∴ ， 

（2）   ∴ ，

（3） 

∴      

∴ ，   ，

（4）  定義域為

例4．（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程；

　　（2）運動曲線方程為，求t=3時的速度。

　　分析：根據導數的幾何意義及導數的物理意義可知，函數y=f(x)在處的導數就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數S(t)對時間的導數。

　　解：（1），

　　，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0

　　因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1

　　（2）

　　。

例3．觀察，，，是否可判斷，可導的奇函數的導函數是偶函數，可導的偶函數的導函數是奇函數。

解：若為偶函數        令

∴ 可導的偶函數的導函數是奇函數

    另證：

∴ 可導的偶函數的導函數是奇函數

例2．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限：

　　（1）；  （2）

　　分析：在導數定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應的形式。利用函數f(x)在處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉化為導數定義的結構形式。

　　解：（1）

　　（2）

說明：只有深刻理解概念的本質，才能靈活應用概念解題。解決這類問題的關鍵是等價變形，使極限式轉化為導數定義的結構形式。

例1．   在處可導，則            

思路：   在處可導，必連續          ∴

        ∴    

2．利用導數判別可導函數的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值．

復合函數的求導法則是微積分中的重點與難點內容。課本中先通過實例，引出復合函數的求導法則，接下來對法則進行了證明。

3．要能正確求導，必須做到以下兩點：

（1）熟練掌握各基本初等函數的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數的求導法則。

（2）對于一個復合函數，一定要理清中間的復合關系，弄清各分解函數中應對哪個變量求導。

4．求復合函數的導數，一般按以下三個步驟進行：

(1）適當選定中間變量，正確分解復合關系；（2）分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數。

也就是說，首先，選定中間變量，分解復合關系，說明函數關系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數對中間變量求導，中間變量對自變量求導；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數。整個過程可簡記為分解――求導――回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。

1．導數概念的理解．

3．導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。

2．關于函數特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。