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例9．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同.為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛?

解：設2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增汽車萬輛，則

            ，

所以，當時，，兩式相減得：

（1）顯然，若，則，即，此時

（2）若，則數列為以為首項，以為公比的等比數列，所以，.

（i）若，則對于任意正整數，均有，所以，，此時，

（ii）當時，，則對于任意正整數，均有，所以，，

由，得

，

要使對于任意正整數，均有恒成立，

即      

對于任意正整數恒成立，解這個關于x的一元一次不等式 ， 得

，

上式恒成立的條件為：，由于關于的函數單調遞減，所以，.

率為（1－0.9）（1－0.85）=0.015，損失期望值為400×0.015=6（萬元），所以總費用為75+6=81（萬元）.

綜合①、②、③、④，比較其總費用可知，應選擇聯合采取甲、乙兩種預防措施，可使總費

用最少.

損失期望值為400×0.15=60（萬元），所以總費用為30+60=90（萬元）；

④若聯合采取甲、乙兩種預防措施，則預防措施費用為45+30=75（萬元），發生突發事件的概

③若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元，發生突發事件的概率為1－0.85=0.15，

1－0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬元），所以總費用為45+40=85（萬元）

解：①不采取預防措施時，總費用即損失期望為400×0.3=120（萬元）；

       ②若單獨采取措施甲，則預防措施費用為45萬元，發生突發事件的概率為

旦發生，將造成400萬元的損失. 現有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采用. 單獨采用甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應預防措施后此突發事件不發生的概率為0.9和0.85. 若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采用、聯合采用或不采用，請確定預防方案使總費用最少.（總費用=采取預防措施的費用+發生突發事件損失的期望值.）

例8．（2004年湖北卷）某突發事件，在不采取任何預防措施的情況下發生的概率為0.3，一

解：（1）ξ、η的可能取值分別為3，2，1，0.

，

根據題意知ξ+η=3，所以  P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=

P(η=2)=P(ξ=1)= ，  P(η=3)=P(ξ=0)= .

   （2）； 因為ξ+η=3，所以 

例7．（2003年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷理工農醫類20））

A、B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A₁，A₂，A₃，B

隊隊員是B₁，B₂，B₃，按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間勝負概率如下：

對陣隊員

A隊隊員勝的概率

A隊隊員負的概率

A₁對B₁

A₂對B₂

A₃對B₃

現按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為ξ、η

   （1）求ξ、η的概率分布；

   （2）求Eξ，Eη.

分析：本小題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力.