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例4．若不等式對一切均成立，試求實數的取值范圍。

解：     

令，則要使它對均有，只要有

         或。

點評：在有幾個變量的問題中，常常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下，此路往往不通，這時若能變更主元，轉移變元在問題中的地位，就能使問題迎刃而解。本題中，若視x為主元來處理，既繁且易出錯，實行主元的轉化，使問題變成關于p的一次不等式，使問題實現了從高維向低維轉化，解題簡單易行。

例3．在的展開式中x的系數為( )．

(A)160            (B)240              (C)360           (D)800

分析與解：本題要求展開式中x的系數，而我們只學習過多項式乘法法則及二項展開式定理，因此，就要把對x系數的計算用上述兩種思路進行轉化：

思路1：直接運用多項式乘法法則和兩個基本原理求解，則展開式是一個關于x的10次多項式， =(x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2)，它的展開式中的一次項只能從5個括號中的一個中選取一次項3x并在其余四個括號中均選 擇常數項2相乘得到，故為?(3x)??2⁴=5×3×16x=240x，所以應選(B)．

思路2 利用二項式定理把三項式乘冪轉化為二項式定理再進行計算，∵x²+3x+2=x²+ (3x+2)=(x²+2)+3x=(x²+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴這條思路下又有四種不同的化歸與轉化方法．①如利用x²+3x+2=x²+(3x+2)轉化，可以發現只有(3x+2)⁵中會有x項，即(3x)?2⁴=240x，故選(B)；②如利用x²+3x+2= (x²+2)+3x進行轉化，則只 (x²+2) ⁴?3x中含有x一次項，即?3x?C₄⁴?2⁴=240x；③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進行轉化，就只有?(x²+3x)?2⁴中會有x項，即240x；④如選擇x²+3x+2=(1+x)(2+x)進行轉化，=×展開式中的一次項x只能由(1+x)⁵中的一次項乘以(2+x)⁵展開式中的常數項加上(2+x)⁵展開式中的一次項乘以(1+x)⁵展開式中的常數項后得到，即為x?2⁵+•2⁴•x••1⁵=160x+80x=240x，故選(B)． 

評注：化歸與轉化的意識幫我們把未知轉化為已知。

例2．如果，三棱錐P―ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線ED=h．求證三棱錐P―ABC的體積．

分析：如視P為頂點，△ABC為底面，則無論是S_△ABC以及高h都不好求．如果觀察圖形，換個角度看問題，創造條件去應用三棱錐體積公式，則可走出困境．

解：如圖，連結EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．這樣，截面ECD將原三棱錐切割成兩個分別以ECD為底面，以PE、AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以

V_P－ABC=V_P－ECD+V_A－ECD=S_△ECD•AE+S_△ECD•PE=S_△ECD •PA=•BC?ED?PA=．
   評注：輔助截面ECD的添設使問題轉化為已知問題迎刃而解．

例1．某廠2001年生產利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設，元月份投入資金建設恰好與元月的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設資金又恰好與12月的生產利潤相同，問全年總利潤m與全年總投入N的大小關系是              （   ）

A. m>N         B. m<N        C.m=N        D.無法確定

[分析]每月的利潤組成一個等差數列{an}，且公差d＞0，每月的投資額組成一個等比數列{bn}，且公比q＞1。，且，比較與的大小。

若直接求和，很難比較出其大小，但注意到等差數列的通項公式an=a1+（n-1）d是關于n的一次函數，其圖象是一條直線上的一些點列。等比數列的通項公式bn=a1qn-1是關于n的指數函數，其圖象是指數函數上的一些點列。

在同一坐標系中畫出圖象，直觀地可以看出ai≥bi   則＞，即m＞N。

[點評]把一個原本是求和的問題，退化到各項的逐一比較大小，而一次函數、指數函數的圖象又是每個學生所熟悉的。在對問題的化歸過程中進一步挖掘了問題的內涵，通過對問題的反思、再加工后，使問題直觀、形象，使解答更清新。

4．化歸與轉化應遵循的基本原則：

（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決。

（2）簡單化原則：將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據。

（3）和諧化原則：化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規律。

（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決。

（5）正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。

3．轉化有等價轉化和非等價轉化。等價轉化前后是充要條件，所以盡可能使轉化具有等價性；在不得已的情況下，進行不等價轉化，應附加限制條件，以保持等價性，或對所得結論進行必要的驗證。

2．化歸與轉化思想的實質是揭示聯系，實現轉化。除極簡單的數學問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的。從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程。化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。數學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，高次向低次轉化，超越式向代數式的轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現。

1．解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題（相對來說，對自己較熟悉的問題），通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉化的思想方法”。

  15. 解：原方程可化為

    令

    則對原方程的解的研究，可轉化為對函數圖象的交點的研究

    下圖畫出了的圖象，由圖象可看出

    （1）當直線時，與雙曲線無交點，此時即當時，原方程無解；

    （2）當直線圖象與雙曲線漸近線重合，顯然直線與雙曲線無交點，即當k=0時，原方程無解；

    （3）當直線的縱截距滿足，即

時，直線與雙曲線總有交點，原方程有解。

    綜上所述，當

  14. 解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點在x軸上，可設它們方程分別為

    ，依題意

    （2）若焦點在y軸上，則可設橢圓方程為

    雙曲線方程為，依題意有