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[錯因分析] 出錯較多的是解答不夠嚴謹, 例如計算出“當0<a<2時, 導數恒正”后, 就說“f (x) 在R上為增函數”或“f (x) 在定義域為增函數”, 前者錯在沒有考慮定義域, 后者錯在沒有掌握好單調性判定定理, 忽視了本題里函數的定義域不是區間. 這些是實質性的錯誤. 還有類似的錯誤, 如寫“f (x) 在(-∞, 1)∪(1, +∞)為增函數”, 這也可能僅僅是數學式寫錯了, 不該用“∪”. 數學式寫錯的還有“f (x) 在為增函數”, 這里不應該用中括號 “]”.

另一類錯誤是第(Ⅰ)問中不討論參數的值, 第(Ⅱ)問中只討論a>0情形.

第(Ⅱ)問中還有邏輯錯誤. 例如“因為f (0)=1, 故只要f (x) 在區間 (0, 1)為增函數”, 這樣也能得出正確結果, 但是推理過程是有錯的, 錯誤原因在于“f (0)=1, 且f (x) 在區間 (0, 1)為增函數”這個命題是“對任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1”的充分條件而難以證明是必要條件.

[復習提示] 近年總有含參數的函數(或數列)的考題, 一般都可用常規方法求解. 首先概念要清楚, 含參數的函數不是一個函數, 參數的值不同, 就是不同的函數. 其次, 應該對參數分類, 即按照參數的不同變化范圍分成若干情形, 再分別討論.

文(22) (本小題滿分14分)

綜上可知, 所求 a的取值范圍為 a≤2.

 ≥, 這時a滿足要求.

(?) 當a>2時, 由(Ⅰ) 知f (x) 在區間 (-,)為減函數, 故在區間(0, ) 內任取一點, 比如取, 就有 x₀∈(0, 1) 且 f (x₀) < f (0) =1, 因而這時a不滿足要求.

(?) 當a≤0時, 對于任意x∈(0, 1) 恒有

f (x) 在區間 (-,)為減函數.

(Ⅱ) 參數a的變化范圍和(Ⅰ) 不同, 但由(Ⅰ) 知仍分三種情形討論.

(?) 當0< a≤2時, 由(Ⅰ) 知f (x) 在區間 (-∞, 1) 為增函數, 故對于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而這時a滿足要求. 

f (x) 在區間 (-∞, -),  (, 1),  (1, +∞) 為增函數,

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄊ

+

-

+

+

(, 1)

 (1, +∞) 

(-,)