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，即  ，

解 (Ⅰ) 焦點在y軸上，故設橢圓方程為 ，（），由題設條件得，且，即b=2，a =1，所以曲線C的方程為

本小題屬于中等題, 區分度較好.得0分者約占18%, 會求橢圓方程得1~4分者有約50%, 會求導數和切線斜率得5~6分者有10.5%, 正確求出切線方程以及進一步求解點M的軌跡方程得7~10分者有16%, 做到第(Ⅱ)問得11~12分者有5.5%. 

[考查意圖] 本小題主要考查橢圓的幾何性質、平面向量及切線方程、曲線方程等基本知識，考查綜合運用數學知識解決問題及推理的能力.

[解答分析] 本小題第(Ⅰ) 問涉及到解析幾何、平面向量和導數應用等多方面知識，同時出現橢圓方程、切線方程和點M的軌跡方程等多個方程，因此做第(Ⅰ)問需要我們清楚理解方程等有關的概念，熟練掌握有關的基本知識、常規方法，并能把他們聯系在一起綜合的運用. 解題思路是：設出切點P的坐標和M點坐標，求出橢圓方程和切線方程，然后求出A、B點坐標，再求出M點坐標與切點坐標的關系，消去切點坐標即可得點M的軌跡方程. 做第(Ⅱ)問需要一點運算技巧. 參考解答如下：

   0.32

   3.88

(Ⅰ) 點M的軌跡方程; (Ⅱ) 的最小值.

[抽樣統計數據]

題號

滿分

  平均分

   難度

  理(20)

    12

在平面直角坐標系xOy中, 有一個以F₁(0, ) 和F₂(0, )為焦點、離心率為的橢圓. 設橢圓在第一象限的部分為曲線C, 動點P在C上, C在點P處的切線與x、y軸的交點分別為A、B, 且向量 . 求:

(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2.

在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

連結MC，作NH⊥MC于H，設H(0,λ, λ) (λ>0).

∴=(0,1－λ,－λ), =(0,1, ). ? = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 連結BH，則=(－1,, ),

∵?=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),

∴cos∠NBH= =  = .

    注：還可以分別以NA、NB、NC為x、y、z軸建立空間直角坐標系，但這需要先證明

l₂⊥平面ABN.

[錯因分析] 缺少解答步驟：主要是在第(Ⅰ) 問中不證明l₂⊥平面ABN，在第(Ⅱ)問中不證明△ABC為正三角形或NC=NA=NB，或不證明∠NBH是所求的線面角，而是默認它們成立.

不按照題意回答問題：算出∠NBH的大�。ㄓ梅慈�角函數表示），但不算它的余弦值.

線面角的概念不清楚：例如說“∠NBH或其補角是所求的線面角”.

找不到所求的線面角，或是按照定義作出了∠NBH，但是找不到H的位置，因而無法計算∠NBH的余弦值.

找錯所求的線面角：例如把平面ABC的法向量與NB的夾角，說所求的線面角是∠NMC，是∠NBC，是∠MNB，是∠DBN（D為BC中點），是∠DME （D為BC中點，E為BN中點），等等.

計算錯誤：向量內積算錯，列式運算錯，線段長度看錯等.

空間想象能力弱：如說“過B作BE∥AC交l₂于E”，其實這是不可能相交的.

[復習提示] 在解答立體幾何題時，常有考生缺少證明步驟，比如本小題不證明l₂⊥平面ABN，其實這一步并不難，但是不寫的話失分就較多. 在高考復習時，要注意練習寫一個既簡明又完整的解答或證明，哪些是必不可少的，那些是可以省略的，這從課本例題、老師講的例題的解答中就可以學到.

理（20）（本小題滿分12分）

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如圖,建立空間直角坐標系M-xyz. 令MN=1, 則有A(-1,0,0)，B(1,0,0)，N(0,1,0),

(Ⅰ) ∵MN是 l₁、l₂的公垂線, l₁⊥l₂,

∴ l₂⊥平面ABN. ∴ l₂平行于z軸.

故可設C(0,1,m)，于是 =(1,1,m), =(1,－1,0).

∵ ?=1+(－1)+0=0  ∴AC⊥NB.

參考解答如下：

解法一: (Ⅰ) 由已知MN⊥l₁ , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.

又由已知l₂⊥MN, l₂⊥l₁ , MN∩l₁ =M, 可得l₂⊥平面ABN，

從而AN為AC在平面ABN內的射影. ∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵  Rt△CNA≌Rt△CNB,

∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC內的射影H是正三角形ABC的中心，連結BH，∠NBH為NB與平面ABC所成的角.