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(-∞, -)

(?) 當(dāng)a>2時(shí), 解得x =±,

x

(?) 當(dāng)a=2時(shí), 故f (x) 在區(qū)間 (-∞, 1), (1, +∞)仍為增函數(shù).

       .

(?) 當(dāng)0<a<2時(shí), 導(dǎo)數(shù)恒正, 故f (x) 在區(qū)間 (-∞, 1), (1, +∞) 為增函數(shù).

    本小題是一道難題, 也是全卷最難的一道題; 區(qū)分度較好. 分?jǐn)?shù)分布呈現(xiàn)出分?jǐn)?shù)越高人數(shù)越少的狀態(tài): 得零分的考生約占32％, 會(huì)求導(dǎo)數(shù)而得到1~3分者約占37％, 再會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性而得4~6分者約占18％, 能對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論而得7~10分者約占11.5％; 得11~13分者約占1.5%, 得滿分者僅占0.07％.

[考查意圖] 本小題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，考查邏輯推理能力.

[解答分析] 本小題的解法是常規(guī)方法, 但需要我們函數(shù)概念清楚、邏輯推理能力強(qiáng). 解答時(shí)需要注意三點(diǎn), 一是本類題目應(yīng)該對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論, 而不是對(duì)函數(shù)的定義域分類討論, 具體到本小題, 應(yīng)該分0<a<2, a=2, a>2三種情況討論. 二是在函數(shù)單調(diào)性判定定理“在一個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒正（負(fù)）, 則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單增（減）”中,“區(qū)間”這個(gè)條件也是不能少的, 本小題函數(shù)的定義域不是區(qū)間, 需要把定義域分成區(qū)間, 再判定函數(shù)在每一區(qū)間的單調(diào)性. 三是注意細(xì)節(jié), 如數(shù)學(xué)符號(hào)書寫應(yīng)該正確, 以及本小題兩問中參數(shù)a的變化范圍不同. 參考解答如下.

解 (Ⅰ) 函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?-∞, 1)∪(1, +∞), 導(dǎo)數(shù)為

   0.19

   2.59

已知函數(shù) .

(Ⅰ) 設(shè)a >0, 討論 y = f (x) 的單調(diào)性;

(Ⅱ) 若對(duì)任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范圍.

[抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿分

  平均分

   難度

  理(21)

    14

    此外, 有的考生是用解法2求解, 在設(shè)Q (, )時(shí), 不恰當(dāng)?shù)南薅é鹊姆秶? 如: θ∈[0,π] 或θ∈. 這樣做改變了點(diǎn)Q 的屬性, 因?yàn)? 當(dāng)θ∈[0,π]時(shí), Q 只在上半橢圓, 當(dāng)θ∈時(shí), 點(diǎn)Q 只在右半橢圓.

    [復(fù)習(xí)提示] 注意“讀題”, 即分析題目, 挖掘其中的信息. 解題中注意每一處細(xì)節(jié), 培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)周密. 消元時(shí)需注意被消變量的選擇, 要使消元的過程盡可能簡單, 消元后的結(jié)果盡可能方便使用.

理（21）（本小題滿分14分）

    有的考生雖知道要對(duì)a分類討論, 但未找到恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn), 導(dǎo)致失誤. 分類應(yīng)從所研究的具體問題出發(fā), 去選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn), 不重不漏地將討論對(duì)象劃分為若干個(gè)類別. 具體到此問題, 則應(yīng)是注意到 | y | ≤ 1, a > 1, 從是否≤1來考慮分類.