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隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母、等表示

離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量

若是隨機(jī)變量，，其中、是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量: 對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量

離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出

離散型隨機(jī)變量的分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為、、…、、…

　 取每一個(gè)值的概率為，則稱表

			…		…
			…		…

為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱的分布列

離散型隨機(jī)變量分布列的兩個(gè)性質(zhì)：任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足:≤≤，并且不可能事件的概率為，必然事件的概率為．由此你可以得出離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)：≥，…；…

對(duì)于離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率的和.即≥

離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生次的概率是

，(…， )

于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：

			…		…
			…		…

由于恰好是二項(xiàng)展開式

中的各項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，

記作，其中，為參數(shù)，并記＝．…

離散型隨機(jī)變量的幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)，所作試驗(yàn)的次數(shù)也是一個(gè)正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量．“”表示在第次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.如果把次試驗(yàn)時(shí)事件發(fā)生記為、事件不發(fā)生記為，， ，那么

…，

于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：

				…		…
				…		…

稱這樣的隨機(jī)變量服從幾何分布，

記作 ，其中…，

求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟：要確定隨機(jī)變量的可能取值有哪些.明確取每個(gè)值所表示的意義；分清概率類型，計(jì)算取得每一個(gè)值時(shí)的概率(取球、抽取產(chǎn)品等問(wèn)題還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣；列表對(duì)應(yīng)，給出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證.

幾種常見(jiàn)的分布列的求法：取球、投骰子、抽取產(chǎn)品等問(wèn)題的概率分布，關(guān)鍵是概率的計(jì)算.所用方法主要有劃歸法、數(shù)形結(jié)合法、對(duì)應(yīng)法等對(duì)于取球、抽取產(chǎn)品等問(wèn)題，還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣.射擊問(wèn)題：若是一人連續(xù)射擊，且限制在次射擊中發(fā)生次，則往往與二項(xiàng)分布聯(lián)系起來(lái)；若是首次命中所需射擊的次數(shù)，則它服從幾何分布，若是多人射擊問(wèn)題，一般利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率進(jìn)行計(jì)算.

對(duì)于有些問(wèn)題，它的隨機(jī)變量的選取與所問(wèn)問(wèn)題的關(guān)系不是很清楚，此時(shí)要仔細(xì)審題，明確題中的含義，恰當(dāng)?shù)剡x取隨機(jī)變量，構(gòu)造模型，進(jìn)行求解.

(浙江文)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“局勝”，即以先贏局者為勝，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中甲獲勝的概率為，則本次比賽甲獲勝的概率是　　　　　　 　 　　　 　　　 　　　　

(遼寧)甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是，那么恰好有人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是

(湖北)某籃運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是，他投球次，恰好投進(jìn)個(gè)球的概率　　　　　　　 (用數(shù)值作答)

(湖北文)接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為，現(xiàn)有人接種了該疫苗，至少有人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 　　　　　　　(精確到)

(湖南文)某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有，參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響．

任選名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；

任選名下崗人員，求這人中至少有人參加過(guò)培養(yǎng)的概率．

(重慶文)甲、乙、丙三人在同一辦公室工作。辦公室只有一部電話機(jī)，設(shè)經(jīng)過(guò)該機(jī)打進(jìn)的電話是打給甲、乙、丙的概率依次為、、.若在一段時(shí)間內(nèi)打進(jìn)三個(gè)電話，且各個(gè)電話相互獨(dú)立.求：這三個(gè)電話是打給同一個(gè)人的概率；這三個(gè)電話中恰有兩個(gè)是打給甲的概率；

問(wèn)題1．(陜西文)甲、乙、丙人投籃，投進(jìn)的概率分別是，，．現(xiàn)人各投籃次，求：人都投進(jìn)的概率；人中恰有人投進(jìn)的概率．

問(wèn)題2．(北京文)甲、乙兩人各進(jìn)行次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率，　 甲恰好擊中目標(biāo)的次的概率；　 乙至少擊中目標(biāo)次的概率；求乙恰好比甲多擊中目標(biāo)次的概率．

問(wèn)題3．(重慶文)設(shè)甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為和，且各次射擊相互獨(dú)立．若甲、乙各射擊一次，求甲命中但乙未命中目標(biāo)的概率；

若甲、乙各射擊兩次，求兩人命中目標(biāo)的次數(shù)相等的概率．

相互獨(dú)立事件：事件(或)是否發(fā)生對(duì)事件(或)發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.

若與是相互獨(dú)立事件，則與，與，與也相互獨(dú)立.

互斥事件與相互獨(dú)立事件是有區(qū)別的：

兩事件互斥是指同一次試驗(yàn)中兩事件不能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指不同試驗(yàn)下，二者互不影響；兩個(gè)相互獨(dú)立事件不一定互斥，即可能同時(shí)發(fā)生，而互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生.

相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：

事件相互獨(dú)立， .

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：在同樣條件下進(jìn)行的各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn).

關(guān)于相互獨(dú)立事件也要抓住以下特征加以理解：

第一，相互獨(dú)立也是研究?jī)蓚�(gè)事件的關(guān)系；第二，所研究的兩個(gè)事件是在兩次試驗(yàn)中得到的；第三，兩個(gè)事件相互獨(dú)立是從“一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生的概率沒(méi)有影響”來(lái)確定的.

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是,那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事恰好發(fā)生次的概率 表示事件在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生了次的概率

關(guān)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要從三個(gè)方面理解：

第一：每次實(shí)驗(yàn)都在同樣條件下進(jìn)行；第二：各次實(shí)驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；第三：每次實(shí)驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，它與實(shí)驗(yàn)的序號(hào)無(wú)關(guān).

(重慶文)若把鑰匙中只有把能打開某鎖，則從中任取把能將該鎖打開的概率為　　　　

(四川) 從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，

這個(gè)數(shù)不能被整除的概率為　　　　 　　　　　　

(浙江)甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有個(gè)紅球，個(gè)白球；乙袋裝有個(gè)紅球，個(gè)白球.兩甲，乙兩袋中各任取個(gè)球.

若，求取到的個(gè)球全是紅球的概率；

若取到的個(gè)球中至少有個(gè)紅球的概率為，求.

袋中有個(gè)編號(hào)為，…，的小球，從中任意隨機(jī)取出個(gè)，求至少有個(gè)編號(hào)為奇數(shù)的概率；同時(shí)擲枚骰子時(shí)，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和是的倍數(shù)的概率.

問(wèn)題1．從裝有個(gè)紅球和各白球的口袋中任取兩個(gè)球，那么下列事件中互斥事件的個(gè)數(shù)是　　　　 個(gè)　　　 個(gè)　　 個(gè)　　　　 個(gè)

①至少有個(gè)白球，都是白球；②至少有個(gè)白球，至少有個(gè)紅球；

③恰有個(gè)白球，恰有個(gè)白球；④至少有個(gè)白球，都是紅球.

將一枚骰子向上拋擲一次，設(shè)事件表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不少于，則

與是互斥而非對(duì)立事件　　　　 與是對(duì)立事件

　與互斥而非對(duì)立事件　　　　 與與是對(duì)立事件

問(wèn)題2．從分別寫有的六件卡片中，任取三張并組成三位數(shù)，計(jì)算：

①這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率；②這個(gè)三位數(shù)能被三整除的概率；③這個(gè)三位數(shù)比小的概率.

(天津)已知甲盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取個(gè)球．

①略；②求取出的個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率；③略．

(重慶)從張元，張元，張元的奧運(yùn)預(yù)賽門票中任取張，則所取張中至少有張價(jià)格相同的概率為

問(wèn)題3．從男女生共有人的班中，選出兩名代表，每人當(dāng)選的機(jī)會(huì)均等，如果選的同性代表的概率是，求該班中男女相差幾名？

問(wèn)題4．(全國(guó)Ⅱ文)從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取件，假設(shè)事件：“取出的件產(chǎn)品中至多有件是二等品”的概率．

求從該批產(chǎn)品中任取件是二等品的概率；

若該批產(chǎn)品共件，從中任意抽取件，求事件：“取出的件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率．

互斥事件的概念:不可能同時(shí)發(fā)生的個(gè)事件叫做互斥事件.、互斥，即事件、不可能同時(shí)發(fā)生，這時(shí)，

一般地：如果事件中的任何兩個(gè)都是互斥的，那么就說(shuō)事件彼此互斥.

對(duì)立事件的概念:事件和事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件 、對(duì)立，即事件、不可能同時(shí)發(fā)生，但、中必然有一個(gè)發(fā)生這時(shí)，

　，一般地,.

對(duì)于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解：

第一，互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系;第二，所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的;第三，兩個(gè)事件互斥是從試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來(lái)確定的.

從集合角度來(lái)看，、兩個(gè)事件互斥，則表示、這兩個(gè)事件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集.

對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合的對(duì)立事件記作，從集合的角度來(lái)看，事件所含結(jié)果的集合正是全集中由事件所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即,。對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.

當(dāng)和互斥時(shí)，事件的概率滿足加法公式：

(、互斥)當(dāng)計(jì)算事件的概率比較困難時(shí)，有時(shí)計(jì)算它的對(duì)立事件的概率則要容易些，為此有.

互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么

＝.

分類討論思想：分類討論思想是解決互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想.

(福建)在一個(gè)口袋中裝有個(gè)白球和個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.從中摸出個(gè)球，至少摸到個(gè)黑球的概率等于　　　

(上海)兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)各由第一、二、三、四卷組成，每卷本，共本．將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌牛�左�?sub>本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率是　　　　 (結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)．

(重慶)某輕軌列車有節(jié)車廂，現(xiàn)有位乘客準(zhǔn)備乘坐，設(shè)每一位乘客進(jìn)入每節(jié)車廂是等可能的，則這位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為的概率為　　　　　

(湖北)以平行六面體的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率為

(江西文)栽培甲、乙兩種果樹，先要培育成苗，然后再進(jìn)行移栽．已知甲、乙兩種果樹成苗的概率分別為，，移栽后成活的概率分別為，．

求甲、乙兩種果樹至少有一種果樹成苗的概率；

求恰好有一種果樹能培育成苗且移栽成活的概率．

(北京文)某條公共汽車線路沿線共有個(gè)車站(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)，在起點(diǎn)站開出的一輛公共汽車上有位乘客，假設(shè)每位乘客在起點(diǎn)站之外的各個(gè)車站下車是等可能的．求：

這位乘客在其不相同的車站下車的概率；

這位乘客中恰有人在終點(diǎn)站下車的概率；

(屆高三成都名校聯(lián)盟預(yù)測(cè)二)從單詞“”中選取個(gè)不同的字母排成

一排，則含“”(“”相連且順序不變)的概率為

從分別寫有的五張卡片里任取兩張，這兩張卡片里的字母恰好是按照字母順序相鄰排列的概率等于　　 　　　　　　

兩位同學(xué)去某大學(xué)參加自主招生考試，根據(jù)　

右圖學(xué)校負(fù)責(zé)人與他們兩人的對(duì)話，可推斷

出參加考試的人數(shù)為