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(湖南)棱長為的正方體的個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為

．(安徽文)把邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，折成直二面角后，在四點所在的球面上，與兩點之間的球面距離為

(江西)如圖，正方體的棱長為，過點作平面的垂線，垂足為點，則以下命題中，錯誤的命題是

點是的垂心

垂直平面

的延長線經過點

直線和所成角為

(天津)如圖，在斜三棱柱中，

，，，

側面與底面所成的二面角為，

分別是棱、的中點.

求與底面所成的角；

證明：∥平面；

求經過四點的球的體積.

將正方形折成正四棱柱的側面，正方形的對角線被折成折線，則

為定值　　　　

有一個長方體形的水泥構件，其中，，，

現在小螞蟻要從點沿表面到放有食物的點，則小螞蟻需走的最短路線長為

已知體積為的正三棱錐的外接球的半徑是，且滿足，則其外接球的表面積是　　　　 (用含及數字作答，不能含)

如果是線段上一點，則；類比到平面的情形：若是內一點，有；類比到空間的情形：若

是四面體內一點，則有　　　 　　　　　　　　　　

三棱錐的條棱中，其中條棱的長都是，則第條棱長的取值范圍是

(屆高三湖北八校月考)如圖，所在的平面和

四邊形所在的平面垂直，且，，

，，，，則點

在平面內的軌跡是

圓的一部分　　　　　　　 橢圓的一部分

雙曲線的一部分　　　　　 拋物線的一部分

(屆高三安徽省江南十校聯考)如圖，已知正方體

的棱長為，長為的線段的

一個端點在棱上運動，點在正方形

內運動，則中點的軌跡的面積為

四面體的一條棱長為，其它各棱長為，若將四面體的體積表示為的函數，則函數的單調遞減區間為

問題1． (江西)如圖，在直三棱柱中，底面為直角三角形，,，，是上一動點，則的最小值

是　　　　　 　

問題2．將如圖所示的直角梯形(圖中所示數字為對應線段長度)沿直線折成直二面角，連結部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖所示，求異面直線與所成角的大小；求二面角的大小；這五個點在同一球面上，求該球的表面積.

問題3．(江西)右圖是一個直三棱柱(以為底面)被一平面所截得到的

幾何體，截面為．已知，，，，.設點是的中點，證明：∥平面

求二面角的大小；

求此幾何體的體積 .

問題4． (重慶)如圖，在直三棱柱中，

，，；點分別在，

上，且，四棱錐與直三棱柱的

體積之比為．求異面直線與的距離；

若，求二面角的平面角的正切值．

折疊問題的計算與證明：一定要關注“變量”和“不變量”在證明和計算中的應用:折疊時位于棱同側的位置關系和數量關系不變;位于棱兩側的位置關系與數量關系變，折前折后的圖形結合起來使用.

(陜西)一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是　 　　　　　　

(遼寧)若一個底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個平面上，則此球的體積為　　　　　　　　

(全國Ⅱ)一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為，那么該棱柱的表面積為　　　　　　　 　

正方體、正多面體、凸多面體、簡單多面體是什么關系？

已知凸多面體每個面都是五邊形，每個頂點都有三條棱相交，試求該凸多面體的面數、頂點數和棱數.

一個廣告氣球被一束入射角為的平行光線照射，其投影是一個長半軸為的橢圓，則制作這個廣告氣球至少需要的面料是　　　

在球面上有四個點、、、，如果、、兩兩互相垂直，且，那么這個球面的面積是 　　

北緯的圓把北半球面積分為兩部分，這兩部分面積的比為

已知過球面上、、三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，

且，則球面面積是

正八面體的相鄰兩個面所成二面角的大小為

問題1．(遼寧)棱長為的正方體，連結相鄰面的中心，以這些線段為棱的

八面體的體積為 　　　　　　　　　　　

已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等且為，把它們拼起來，使一個表面重合，所得的多面體有多少個面？

問題2．(天津)一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為，則此球的表面積為　　　　　　　　 　

(全國Ⅰ文)正四棱錐的底面邊長和各側棱長都為，點

都在同一個球面上，則該球的體積為　　　　　　

(江西文)四面體的外接球球心在上，且，，

在外接球面上兩點、間的球面距離是　　 　　　

(陜西)水平桌面上放有個半徑均為的球，且相鄰的球都相切(球心的連線構成正方形).在這個球的上面放個半徑為的小球，它和下面個球恰好都相切，則小球的球心到水平桌面的距離是　　　　　　　

問題3． (四川)設球的半徑是，、、是球面上三點，已知到、兩點的球面距離都是，且二面角的大小為，則從點沿球面經、兩點再回到點的最短距離是

問題4．三棱錐的兩條棱，其余各棱長均為，求三棱錐的內切球半徑和外接球半徑.

問題5．已知球的半徑為，在球內作一個內接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側面積最大?側面積的最大值是多少?

每個面都是有相同邊數的正多邊形，每個頂點為端點都有相同棱數的凸多面體，叫做正多面體.

正多面體有且只有種.分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.

簡單多面體：考慮一個多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會連續(不破裂)變形，最后可變為一個球面.如圖：象這樣，表面經過連續變形可變為球面的多面體，叫做簡單多面體.

說明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體

五種正多面體的頂點數、面數及棱數：

正多面體	頂點數	面數	棱數
正四面體
正六面體
正八面體
正十二面體
正二十面體

歐拉定理(歐拉公式)：簡單多面體的頂點數、面數及棱數有關系式： 計算棱數常見方法： ； 各面多邊形邊數和的一半；頂點數與共頂點棱數積的一半.

球的概念： 與定點距離等于或小于定長的點的集合，叫做球體，簡稱球定點叫球心，定長叫球的半徑與定點距離等于定長的點的集合叫做球面.一個球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球

球的截面：用一平面去截一個球，設是平面的垂線段，為垂足，且，所得的截面是以球心在截面內的射影為圓心，以為半徑的一個圓，截面是一個圓面.

球面被經過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經過球心的平面截得的圓叫做小圓

兩點的球面距離：球面上兩點之間的最短距離，就是經過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離.(為球心角的弧度數).

球的表面積和體積公式：，.

(安徽)在正方體上任意選擇個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的個頂點，這些幾何形體是　　 　　　　　　　(寫出所有正確結論的編號).

①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體. (北京春) 兩個完全相同的長方體的長、寬、高分別為，，，

把它們重疊在一起組成一個新長方體，在這些新長方體中，最長的對角線的長度是

(上海)有兩個相同的直三棱柱，高為，底面

三角形的三邊長分別為、、 ().用它們

拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積

最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是　　　　　

(上海春)正四棱錐底面邊長為，側棱長為，則其體積為　　　　　　

(全國Ⅰ)一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側棱上.已知正三棱柱的底面邊長為，則該三角形的斜邊長為　　　　 　　

(江蘇)正三棱錐高為，側棱與底面所成角為，則點到側面的距離是　　　　　　

一個正三棱錐與一個正四棱錐，它們的棱長都相等，把這個正三棱錐的一個側面重合在正四棱錐的一個側面上，這個組合體可能是

正四棱錐　　　 正五棱錐　　　 斜三棱柱　　　　 正三棱柱

如果三棱錐的底面是不等邊三角形，側面與底面所成的二面角相等，且

頂點在底面的射影為，在內，那么是的　

垂心 　　　　　　重心　 　　　　　外心　 　　　　內心

如圖，在直三棱柱中，，

，、為側棱上的兩點，且，

則多面體的體積等于　　　　　　

過棱錐高的三等分點作兩個平行于底面的截面，它們將棱錐的側面分成三部分的面積的比(自上而下)為　　　　　 　　　　　　　

在三棱錐中，，則側棱與側面所成的角的大小是　　　　　

三棱錐一條側棱長是，和這條棱相對的棱長是，其余四條棱長都是，求棱錐的體積.

平行六面體　 的底面是矩形，

側棱長為　 ，點在底面上的射影

是的中點，與底面成角，

二面角為 ，求該平行六面體

的表面積和體積.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(屆高三合肥市三檢)正三棱柱的底面邊長為，側棱長為，過正三棱柱底面上的一條棱作一平面與底面成的平面角，則該平面與平面所截得的線段長等于　　　　　　　　　

(屆高三寶雞中學第四次月考)在直四棱柱中，， ，，，垂足為.

　 求證：；求異面直線與所成的角.