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問題1．(全國Ⅱ)的展開式中常數(shù)項為　　 (用數(shù)字作答).

求展開式中的系數(shù)(要求用兩種方法解答).

求展開式中系數(shù)最大的項

求展開所得的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項數(shù)

問題2．已知，

則　　　 　　　　　　

(安徽文)已知，

則的值等于　　　　　　　 ．

(浙江)若多項式，則

(天津)設，則　　　　　

問題3．求的近似值(精確到)

已知能被整除，則最小值　　

問題4．求證：≤()；你能把不等式中的上限變得更小些嗎？

二項式定理及其特例：

，

二項展開式的通項公式：

常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項：

求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性.

二項式系數(shù)表(楊輝三角)

展開式的二項式系數(shù)，當依次取…時，二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和.

二項式系數(shù)的性質(zhì)：

展開式的二項式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，例當時，其圖象是個孤立的點(如圖)

對稱性．

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等()．直線是圖象的對稱軸.

增減性與最大值：

當是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當是奇數(shù)時，中間兩項，取得最大值.

各二項式系數(shù)和：∵，

令，則

在使用通項公式時，要注意：

通項公式是表示第項，而不是第項.展開式中第項的二項式系數(shù)與第項的系數(shù)不同.通項公式中含有五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.在有關(guān)二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程(或方程組).這里必須注意是正整數(shù)，是非負整數(shù)且≤. 證明組合恒等式常用賦值法.要正確理解二項式定理，準確地寫出二項式的展開式.要注意區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù). 二項式展開式系數(shù)可用通項公式及組合知識.

用二項式定理進行近似運算，關(guān)鍵是恰當?shù)厣崛〔挥绊懢�度的項，一般地：�?sub>

很小時，有.

(福建)某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排名，則不同的安排方案種數(shù)為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(福建文)某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為

(四川)用數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字，并且比大的五位偶數(shù)

共有　　 個　　　　　 個　 　　 個　　　 個

(北京文)某城市的汽車牌照號碼由個英文字母后接個數(shù)字組成，其中個數(shù)字互不相同的牌照號碼共有個 個 個 個

(湖北)已知直線(是非零常數(shù))與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有

條　　　　 條　　　　 條　　　　 條

(上海文)如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”. 在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(北京東城區(qū)模擬)組合數(shù)　　　　

(昆明一模)如圖，為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方法共有　　 種　　 種　　 種　　 種

(屆高三湖南省十二校一聯(lián))如圖，正五邊形

中，若把頂點染上紅、黃、綠

三種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不相同，

則不同的染色方法共有　　　　　　　　　 種 .

(湖北八校二聯(lián))用四種不同的顏色給正方體的六個面染色，

要求四種顏色用完，且相鄰兩個面涂不同的顏色，則所有不同的涂色方法共有

種　　　　 種　　　　　 種　　 　　　種

某人用步恰好上完個臺階，則有　　　　 　種不同上法.

個人站成一排，男女相間有　　　　 　種排法,如果其中某三人站在一起，另外四人排在一起有　　　　 　種排法,若其中甲乙之間各一人有　　　　 　種排法.

下面是高考第一批錄取的一份志愿表：

　現(xiàn)有所重點院校，每所重點院校有個

專業(yè)是你較為滿意的選擇，如果表格填滿

且規(guī)定學校沒有重復，同一學校的專業(yè)也

沒有重復，不同的填寫方法的種數(shù)是：

一個三位數(shù)稱為“凹數(shù)”，如果該三位數(shù)同時滿足且，那么所有不同的

“凹數(shù)”的個數(shù)是　　　　　　　　

(雅禮中學月考)已知，從到的映射滿足：①≤

≤≤≤；②的象有且只有個，則適合條件的映射的個數(shù)是

問題1．填空：①已知，，則　　 　　　　　；

②已知，則　　　　　 ；③已知，則　　　　　

計算：①；　　　 �、�

問題2．(北京)記者要為名志愿者和他們幫助的為老人拍照，要求排成一排，位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有種種種種

(全國Ⅰ)安排位工作人員在月日到月日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在月日和日，不同的安排方法共有　　 種。(用數(shù)字作答)

個人站成一排，其中互不相鄰且也互不相鄰的排法有多少種？

問題3．(江蘇)今有個紅球、個黃球、個白球，同色球不加以區(qū)分，

將這個球排成一列有　　　 　　　種不同的方法(用數(shù)字作答).

(湖北聯(lián)考)本不同的書，平均分成三堆，每堆兩本，有種不同的分法；

若分成三堆，有兩堆各本，另一堆本，有種不同的分法，則　　　

問題4．(陜西)安排名支教教師去所學校任教，每校至多人，則不同的分配方案共有　　　　 種．(用數(shù)字作答)

(陜西)某校從名教師中選派名教師同時去個邊遠地區(qū)支教(每地人),其中

甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有　　　　　　 種

(遼寧)有兩排座位，前排個座位，后排個座位，現(xiàn)安排人就座，

規(guī)定前排中間的個座位不能坐，并且這人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是

問題5．按下列要求分配本不同的書，各有多少種不同的分配方式：

如果每人得本有多少種不同的分法？

如果甲得本，乙得本，丙得本有多少種分法？

如果一人得本，一人得本，一人得本有多少種分法？

平均分成三堆，每堆本有多少種分法？

問題6． 五個人并排站成一排，則不同的排法有種種種種

一名老師和四名學生排成一排，老師不在兩端，則不同的排法有　　　　　 種.　

從臺甲型和臺乙型電視機中任取臺，其中至少要甲、乙電視機各一臺，則不同的取法有　　　　 　種.

把個相同的小球放入編號為的盒子中，問每個盒子中至少有個小球的不同放法有多少種？

排列的概念：從個不同元素中，任取()個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列

排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任取()個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示

排列數(shù)公式：()

階乘：表示正整數(shù)到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定．

組合的概念：一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.

組合數(shù)的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 個不同元素中取出個元素的組合數(shù)．用符號表示．

組合數(shù)公式：.

組合數(shù)的性質(zhì):．規(guī)定：； 　＝+

附有限制條件的排列:

①優(yōu)先特殊元素(或位置)②相鄰問題：“捆綁法””③不相鄰問題：“插空法

④復雜問題：“排除法”⑤機會均等法；

組合問題常見解題方法：

注意“至少”、“最多”、“含”等詞

區(qū)分“分配”與“分組”：“分組問題”的特征是組與組之間只要元素個數(shù)相同是不可區(qū)分的，即指把物件分成組，是無順序可言的；而“分配”問題即使元素個數(shù)相同，但因人不同，仍然是可區(qū)分的，或者是指把物件分給不同的人(或團體)，是有順序的，解分配問題必須先分組后排列，若平均分組，則分法取法/

隔板分組法：常常用于解決一類相同元素分給不同對象的分配問題.

(湖北文)把一同排張座位編號為的電影票全部分給個人，每人至少分張，至多分張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是　　　　 　　　　　　　　　　

(天津)從集合中任選兩個元素作為橢圓方程中的、，

則能組成落在矩形區(qū)域，且內(nèi)的橢圓個數(shù)為

(全國Ⅰ文)甲、乙、丙位同學選修課程，從門課程中，甲選修門，乙、丙各選修門，則不同的選修方案共有　 種　 種　 種　 種

(全國Ⅱ文)位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有　　 種　　　 種　　 種　　 種

有一項活動，需在名老師、名男生和名女生中選人參加.

若只需人參加，有多少種不同的選法？

若需老師、男生、女生各人參加，有多少種不同的選法？

若需名老師、名學生參加，有多少種不同的選法？

三邊長均為正整數(shù)，且最大邊長為的三角形的個數(shù)為

若是定義域為≤≤，，值域為的函數(shù)，

則這樣的函數(shù)共有　　　 個　　 個　　　 個　　 個

名高中畢業(yè)生報考其中的所重點院校，每人只報一所院校，則有多少種不同的報名方法？名高中畢業(yè)生報考其中的所重點院校，每人只報一所院校，每個院校僅允許報一名，有多少種不同的報名方法？

從，…，九個正整數(shù)中任取兩個不同的數(shù)字分別作為對數(shù)和真數(shù)，共可以得到多少個不同的對數(shù)值?

從中任取個不同的數(shù)作為拋物線方程()

的系數(shù)，如果拋物線過原點，且頂點在第一象限，則這樣的拋物線共有多少條？

將封信投入個郵筒，不同的投法共有

　 　　　種　　　 　種　　　 　種　　　 　種

個學生在本不同的參考書中各挑選一本，不同選法種數(shù)是

問題1．在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？

三人傳球，由甲開始發(fā)球，并作第一次傳球，經(jīng)過次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有　　 種　　 種　　 種　　 種

問題2．(廣州綜合測試)某文藝團下基層進行宣傳演出，原準備的節(jié)目表有

個節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，在它們之間再插入個小品節(jié)目，并且這個小品節(jié)目在節(jié)目表中既不排頭，也不排尾，那么不同的插入方法有

種　　　　 種　　　　 種　　　　　　 種

用種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖),要求在①、②、③、④四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用

同一種顏色.

(Ⅰ)若，為甲著色時

共有多少種不同等方法？

(Ⅱ)若為乙著色時共有

種不同方法，求.

正整數(shù)的正約數(shù)有　　　　 　個.

問題3．某外語組有人，每人至少會英語和日語中的一門，其中人會英語，人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？

分類計數(shù)原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 　種不同的方法.

分步計數(shù)原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第步有種不同的方法，那么完成這件事有：

　　　 　種不同的方法.

正確區(qū)分和使用兩個原理是學好本章的關(guān)鍵.區(qū)分“分類與分步”的依據(jù)在于能否“一次性”完成. 若能“一次性”完成，則不需“分步”，只需分類；否則就分步處理.有些較復雜的問題，既要“分類”，又要“分步”，應明確按什么標準“分類”，“分步”，不同的標準，可以有不同的解法，解題時應擇優(yōu)而行.在應用計數(shù)原理時，要仔細審題，分清是允許重復，還是不允許重復.