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周期函數的定義：對于定義域內的每一個，都存在非零常數，使得

恒成立，則稱函數具有周期性，叫做的一個周期，

則()也是的周期，所有周期中的最小正數叫的最小正周期. 幾種特殊的抽象函數：具有周期性的抽象函數：

函數滿足對定義域內任一實數(其中為常數),

①　　 ，則是以為周期的周期函數；

　②，則是以為周期的周期函數；

③，則是以為周期的周期函數；

　④，則是以為周期的周期函數；　　　　　　　　　

⑤，則是以為周期的周期函數.

⑥，則是以為周期的周期函數.

⑦，則是以為周期的周期函數.

⑧函數滿足()，若為奇函數，則其周期為，

若為偶函數，則其周期為.

⑨函數的圖象關于直線和都對稱，則函數是以

為周期的周期函數；

⑩函數的圖象關于兩點、都對稱，則函數是以為周期的周期函數；

⑾函數的圖象關于和直線都對稱，則函數是以為周期的周期函數；

(天津)在上定義的函數是偶函數，且，若在區間

是減函數，則函數

在區間上是增函數，區間上是增函數

在區間上是增函數，區間上是減函數

在區間上是減函數，區間上是增函數

在區間上是減函數，區間上是減函數

(遼寧文)函數的單調增區間為(　　 )

(福建)已知函數為上的減函數，則滿足的實數的范圍是　 　　　　　　　　　

(天津)在上定義的函數是偶函數，且，若在區間

上是減函數，則

在區間上是增函數，在區間上是增函數

在區間上是增函數，在區間上是減函數

在區間上是減函數，在區間上是增函數

在區間上是減函數，在區間上是減函數

(重慶)已知定義域為的函數在上為減函數，且函數

為偶函數，則　

(山東)下列函數既是奇函數，又在區間上單調遞減的是

(天津)若函數在區間內單調遞增，

則的取值范圍是　　 　　　　　　

(重慶)若函數是定義在上的偶函數，在上是減函數，且，

則使得的的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ；　　　 ；；　

(北京文)已知是上的增函數，那么的取值范圍是

(以前)已知若試確定的單調區間和單調性．

(全國Ⅰ文)設為實數，函數在和都是增函數，求的取值范圍。

(安徽文)設函數，已知是奇函數。(Ⅰ)求、的值。(Ⅱ)求的單調區間與極值。

利用函數單調性定義證明：＝在上是減函數

函數在上為增函數，則實數的取值范圍

下列函數中，在區間上是增函數的是　　 　　　　　

已知在上是的減函數，則的取值范圍是

為上的減函數，，則

如果奇函數在區間上是增函數，且最小值為，那么在區間上是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　增函數且最小值為　　 　 　 　　增函數且最大值為

減函數且最小值為　　　　　　 減函數且最大值為

已知是定義在上的偶函數，它在上遞減，那么一定有

　　　 　　　　　　　　　　　　　　 ≥

　　　　　　　　　　　　　　 ≤

已知是偶函數，且在上是減函數，則是增函數的區間是

(湖南文)若與在區間上都是減函數，則

的取值范圍是(　 ) 　　

(上海)若函數在上為增函數,則實數、的范圍是

已知偶函數在內單調遞減，若，，，則、、之間的大小關系是_____________

已知奇函數是定義在上的減函數，若，求實數

的取值范圍.

已知函數，求函數的定義域，并討論它的奇偶性和單調性.

設，是上的偶函數．求的值；

證明在上為增函數．

(北京東城模擬)函數對任意的，都有，

并且當時.求證：是上的增函數；

若，解不等式

已知函數的定義域是的一切實數，對定義域內的任意都有

，且當時，

求證：是偶函數； 在上是增函數；

解不等式．

函數的遞增區間是　　　　　 　　

已知是上的奇函數，且在上是增函數，則在上的單調性為

已知奇函數在單調遞增，且，則不等式的解集是

若函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍是

函數在遞增區間是，則的遞增區間是

問題1．(全國,節選)設函數，其中.略；

　　 求證：當≥時，函數在區間上是單調函數

問題2．已知函數在區間上是增函數，試求的取值范圍

問題3．求下列函數的單調區間：

問題4．若函數在單調遞增，且，則實數的取值范

圍是　　 　　　　

若,則不等式＜的解集為 　　　　

問題5．(山東模擬)設是定義在上的函數，且對任意實數、都有

.求證：是奇函數；若當時，有，

則在上是增函數.

討論函數單調性必須在其定義域內進行，因此要研究函數單調性必須先求函數的定義域，函數的單調區間是定義域的子集；

判斷函數的單調性的方法有：用定義；用已知函數的單調性；利用函數的導數；如果在區間上是增(減)函數，那么在的任一非空子區間上也是增(減)函數圖象法；復合函數的單調性結論：“同增異減” 奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性，偶函數在對稱的單調區間內具有相反的單調性.

　互為反函數的兩個函數具有相同的單調性．

在公共定義域內，增函數增函數是增函數；減函數減函數是減函數；增函數減函數是增函數；減函數增函數是減函數。

函數在上單調遞增；

在上是單調遞減。

證明函數單調性的方法：利用單調性定義①；利用單調性定義②

函數單調性的定義：

①如果函數對區間內的任意，當時都有，則在內是增函數；當時都有，則在內時減函數。

②設函數在某區間內可導，若，則為的增函數；若，則為的減函數.

單調性的定義①的等價形式：

設，那么在是增函數；

在是減函數；

在是減函數。

復合函數單調性的判斷．

函數單調性的應用.利用定義都是充要性命題.

即若在區間上遞增(遞減)且()；

若在區間上遞遞減且.().

①比較函數值的大小②可用來解不等式.③求函數的值域或最值等

　(全國)已知函數，若，則

　(全國Ⅰ文)已知函數，若為奇函數，則　　　　 　　

(江蘇)已知，函數為奇函數，則

(遼寧)設是上的任意函數，下列敘述正確的是(　)

是奇函數　　 是奇函數

是偶函數　　 是偶函數

(遼寧文)已知為奇函數，若，則　　 　

(廣東)若函數，則是(　　 )

最小正周期為的奇函數　　　　　 最小正周期為的奇函數

最小正周期為的偶函數　　　　 最小正周期為的偶函數

(海南)設函數為奇函數，則　　　　　

(海南文)設函數為偶函數，則　　　　　

(江蘇)設是奇函數，則使的的取值范圍是

　(江西)設函數是上以為周期的可導偶函數，則曲線

在處的切線的斜率為 　　　 　 　　 　　　 　　

設為實數，函數，．　

討論的奇偶性； 求 的最小值．

(上海，本題滿分分)已知函數，常數.

討論函數的奇偶性，并說明理由

若在上是增函數，求的取值范圍.

判斷下列函數的奇偶性：

；　　　　　 ；

；　 　　　　　　；

(其中，)

(南昌模擬)給出下列函數①②③④，

其中是奇函數的是(　　 )　 ①②　 　①④　　 　②④　　 　③④

已知函數在是奇函數，且當時，，則時，

的解析式為_______________

(上海春)已知函數是定義在上的偶函數.當時，

，則當時，　　 　　　　　　

已知為上的奇函數，當時，，那么的值為

若為偶函數，為奇函數，且，則　　　　 　，

定義在上的函數是奇函數，則常數____,_____

(北京西城模擬)已知函數對一切，都有，

求證：為奇函數；若，用表示.

( 重慶文)已知定義域為的函數是奇函數。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

設是定義在上的奇函數，且，又當≤≤時，，證明：直線是函數圖象的一條對稱軸；

當時，求的解析式

已知函數,是偶函數,則 　　　　

已知為奇函數，則的值為　　　　　　

已知，其中為常數，若，

則_______　　

若函數是定義在上的奇函數，則函數的圖象關于

軸對稱　　 軸對稱　　 原點對稱　　 以上均不對

函數是偶函數，且不恒等于零，則

是奇函數　　　　　　　　　　　 是偶函數　　　

可能是奇函數也可能是偶函數　　 不是奇函數也不是偶函數