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2、影響水的電離平衡的因素

⑴溫度　　　　　　　　　　　　 ⑵酸、堿　　　　　　　　　　　　

⑶易水解的鹽　　　　　　　　　　　　

[思考]分析下列條件的改變對水的電離平衡的影響：　　　　　　　　

[例1]純水在25℃和80℃時的H⁺濃度，前后兩個量的大小關系為(　　 )

A. 大于　　　 B. 等于　　　 C. 小于　　　 D. 不能確定

1、水是一種　　　 電解質(zhì)，其電離方程式為　　　　　　　　　　　　 ，

水的離子積Kw＝　　　　　　　　　　　　 　

Kw只隨溫度變化而不隨濃度變化，水的電離是　 熱過程，25℃時，Kw=　　　　　　　　　　　　

15．(2008·寧夏、海南)設函數(shù)f(x)＝ax+(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

(3)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．

(1)解：f′(x)＝a－，

于是

解得或

因a，b∈Z，故f(x)＝x+.

(2)證明：已知函數(shù)y₁＝x，y₂＝都是奇函數(shù)．

所以函數(shù)g(x)＝x+也是奇函數(shù)，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形．

而f(x)＝x－1++1.

可知，函數(shù)g(x)的圖象按向量a＝(1,1)平移，即得到函數(shù)f(x)的圖象，故函數(shù)f(x)的圖象是以點(1,1)為中心的中心對稱圖形．

(3)證明：在曲線上任取一點

.

由f′(x₀)＝1－知，過此點的切線方程為

y－＝(x－x₀)．

令x＝1得y＝，切線與直線x＝1交點為.

令y＝x得y＝2x₀－1，

切線與直線y＝x交點為(2x₀－1,2x₀－1)．

直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)．

從而所圍三角形的面積為

|2x₀－1－1|

＝·＝2

所以所圍成三角形的面積為定值2.

14．(2008·山東師大附中)已知f(x)是定義在(0，+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，對于任意的m、n[m、n∈(0，+∞)]滿足f(m)+f(n)＝f(mn)，且a、b(0<a<b)滿足|f(a)|＝|f(b)|＝2.

(1)求f(1)；

(2)若f(2)＝1，解不等式f(x)<2；

(3)求證：3<b<2+.

解：(1)令m＝n＝1，由f(m)+f(n)＝f(mn)，得f(1)+f(1)＝f(1)．

∴f(1)＝0.

(2)∵f(2)＝1，

∴f(x)<2＝1+1＝f(2)+f(2)＝f(4)．

又f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，

∴0<x<4，∴f(x)<2的解集為(0,4) .

(3)∵f(1)＝0，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，

∴x∈(0,1)時，f(x)<0；

x∈(1，+∞)時，f(x)>0.

又|f(a)|＝|f(b)|，

∴f(a)＝f(b)或f(a)＝－f(b)．

∵0<a<b，∴f(a)＝－f(b)，

∴f(a)+f(b)＝f(ab)＝0，

∴ab＝1，∴0<a<1<b.

又∵|f(b)|＝2，

且b>1，>＝1，

∴f(b)＝2f，

∴4b＝a²+2ab+b²，

∴4b－b²－2＝a²，考慮到0<a<1，

∴0<4b－b²－2<1，又b>1，

∴3<b<2+.

13．(2008·北京海淀)

今有一長2米，寬1米的矩形鐵皮，如右圖，在四個角上分別截去一個邊長為x米的正方形后，沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體水箱(接口連接問題不考慮)．

(1)求水箱容積的表達式f(x)，并指出函數(shù)f(x)的定義域；

(2)若要使水箱容積不大于4x³立方米的同時，又使得底面積最大，求x的值．

解：(1)由已知該長方體水箱高為x米，底面矩形長為(2－2x)米，寬(1－2x)米．

∴該水箱容積為f(x)＝(2－2x)(1－2x)·x

f(x)＝4x³－6x²+2x，

其中正數(shù)x滿足

∴0<x<.

∴所求函數(shù)f(x)的定義域為

.

(2)由f(x)≤4x³，得x≤0或x≥.

∵函數(shù)f(x)的定義域為.

∴≤x<.

此時底面積為S(x)＝(2－2x)(1－2x)

＝4x²－6x+2，x∈.

由S(x)＝4²－，

可知S(x)在上是減函數(shù)，

∴x＝.

答：滿足條件的x為米．

12．(2009·重慶市一測)某廠家擬在2009年舉行促銷活動．經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用t(t≥0)萬元滿足x＝4－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2009年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)．

(1)將該廠家2009年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；

(2)該廠家2009年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？

解：(1)由題意可知1＝4－得k＝3，故x＝4－.

y＝1.5··x－(6+12x)－t＝3+6x－t＝3+6(4－)－t＝27－－t(t≥0)．

(2)y＝27－－t＝27.5－(+t+)≤27.5－2＝21.5.

當且僅當＝t+，即t＝2.5時，y取得最大值．

故2009年的促銷費用投入2.5萬元時，廠家利潤最大．

11．(2008·石家莊二測)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對于x∈R都有f(x+6)＝f(x)+f(3)成立，且f(－4)＝－2，當x₁，x₂∈[0,3]，且x₁≠x₂時，都有>0.則給出下列命題：

①f(2008)＝－2；

②函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對稱軸為x＝－6；

③函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為減函數(shù)；

④方程f(x)＝0在[－9,9]上有4個根；

其中所有正確命題的序號為________．

答案：①②③④

解析：f(x+6)＝f(x)+f(3)，f(3)＝0，

則f(x+6)＝f(x),6為函數(shù)的一個周期，又函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(－4)＝－2，則f(4)＝－2，當x₁，x₂∈[0,3]，且x₁≠x₂時，都有>0，函數(shù)在區(qū)間[0,3]上為增函數(shù)．對于①，f(2008)＝f(4+6×334)＝f(4)＝－2，①正確；對于②，由奇偶性和周期性得函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對稱軸為x＝－6，則②正確；對于③，由周期性知函數(shù)y＝f(x)在[－6，－3]上為增函數(shù)，又函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對稱軸為x＝－6，則函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為減函數(shù)，③正確；對于④，由于f(3)＝0，根據(jù)奇偶性和周期性得f(－3)＝0，f(9)＝0，f(－9)＝0，則方程f(x)＝0在[－9,9]上有4個根，④正確；綜上所述，①②③④正確，故填①②③④.

10．(2008·重慶一模)將函數(shù)f(x)＝的圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(1)+2g(2)+3g(3)＝________.

答案：9

解析：函數(shù)f(x)＝的圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位后，得到函數(shù)g(x)＝f(x+1)－1＝－1＝，則g(1)+2g(2)+3g(3)＝9，故填9.

9．(2009·江西九校聯(lián)考)給出下列四個命題：①函數(shù)f(x)＝x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c＝0；②函數(shù)y＝2^－x的反函數(shù)是y＝－log₂x；③若函數(shù)f(x)＝lg(x²+ax－a)的值域是R，則a≤－4或a≥0；④若函數(shù)y＝f(x－1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．其中所有正確命題的序號是________．

答案：①②③

解析：依題意，因為f(x)＝x|x|+bx+c為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－x|x|－bx+c＝－f(x)＝－x|x|－bx－c，所以c＝0，①正確；由y＝2^－x解得x＝－log₂y，即函數(shù)y＝2^－x的反函數(shù)為y＝－log₂x，②正確；函數(shù)f(x)＝lg(x²+ax－a)的值域為R，則Δ＝a²+4a≥0，解得a≤－4或a≥0，所以③正確；因為函數(shù)y＝f(x－1)是偶函數(shù)，則圖象關于y軸對稱，y＝f(x)的圖象由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象向左平移一個單位得到，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，所以④錯．

8．(2009·東北三校聯(lián)考)設函數(shù)f(x)＝，則(a≠b)的值為(　)

A．a　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．b

C．a、b中較小的數(shù)　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．a、b中較大的數(shù)

答案：C

解析：對a－b進行討論，當a－b>0時，f(a－b)＝－1，＝＝b；當a－b<0時，f(a－b)＝1，＝＝a，所以上式的值為a、b中較小的數(shù)．選C.