函數解析式的求解；
函數定義域的求解．
(
全國Ⅰ)設
是實數，且
是實數，則
(全國Ⅱ)設復數
滿足
，則
(北京)
(福建)復數
等于
(安徽)若為實數，
，則等于
(天津)是虛數單位，
(四川)復數
的值是
(江西)化簡
的結果是
(湖南)復數
等于
(湖北)復數
，且
，若
是實數，則有序實數對
可以是
(寫出一個有序實數對即可)
(上海，
)對于非零實數
、
，以下四個命題都成立：
① 
；
② 
；
③ 若
，則
； ④ 若
，則
．
那么，對于非零復數、，仍然成立的命題的所有序號是
(重慶)復數
的虛部為
(浙江)已知復數
，
，則復數
(
上海)若復數同時滿足－
＝，＝
(為虛數單位)，則＝
(浙江)已知
，其中
、
是實數，是虛數單位，則
(湖北)設
、
為實數，且
，則
(福建)設
則復數
為實數的充要條件是( )
(江西)已知復數滿足
，則＝
(全國Ⅰ)如果復數
是實數，則實數
(四川)復數
的虛部為
. 
(重慶)復數
的值是
虛數單位:
它的平方等于，即 
;
實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.
與－1的關系: 就是的一個平方根，即方程
的一個根，方程的另一個根是
.
的周期性：
, 
, 
, 
.
復數的定義：形如
的數叫復數，叫復數的實部，叫復數的虛部.全體復數所成的集合叫做復數集，用字母
表示
復數的代數形式: 復數通常用字母表示，即
，把復數表示成
的形式，叫做復數的代數形式.
復數與實數、虛數、純虛數及的關系：對于復數，當且僅當
時，復數是實數；當時，復數
叫做虛數；當
且時，
叫做純虛數；當且僅當
時，就是實數
復數集與其它數集之間的關系：
兩個復數相等的定義：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等.這就是說，如果，，
，
，那么
,
復平面、實軸、虛軸：復數與有序實數
對
是一一對應關系.建立一一對應的關系.點
的橫坐標是，
縱坐標是，復數可用點
表示，這個
建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，也叫高斯平面，
軸叫做實軸，軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數.
對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應的有序實數對為
， 它所確定的復數是
表示是實數.故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.
復數
復平面內的點
這就是復數的一種幾何意義.也就是復數的另一種表示方法，即幾何表示方法.
復數
與
的和的定義：
復數與的差的定義：
復數的加法運算滿足交換律:
復數的加法運算滿足結合律: 
乘法運算規則：
設
，
(、、、)是任意兩個復數，那么它們的積
其實就是把兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把
換成，并且把實部與虛部分別合并.兩個復數的積仍然是一個復數.
乘法運算律：
(1)
復數除法定義：滿足
的復數
(、
)叫復數除以復數
的商，記為：
或者
除法運算規則：
①設復數 (、
)，除以 (，)，其商為(、)，
即
∵
∴
由復數相等定義可知
解這個方程組，得
于是有: 
②利用
于是將
的分母有理化得：
原式
.
∴(
點評：①是常規方法，②是利用初中我們學習的化簡無理分式時，都是采用的分母有理化思想方法，而復數與復數
，相當于我們初中學習的
的對偶式
，它們之積為是有理數，而是正實數.所以可以分母實數化. 把這種方法叫做分母實數化法.
共軛復數：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。虛部不等于的兩個共軛復數也叫做共軛虛數.
(
陜西)
是定義在
上的非負可導函數，且滿足
≤
．
對任意正數
，若
，則必有
≤
≤ 
≤
≤
(江蘇)已知二次函數
的導數為
，
，對于任意實數
，有≥，則
的最小值為 
(
全國)函數
在下面哪個區間內是增函數
(
重慶)曲線
在點
處的切線與軸、直線
所圍成的三角形的面積為
，則
(
全國)已知
是正整數且
，求證：
(重慶)已知函數
在
處取得極值
，其中
為常數．(Ⅰ)試確定的值；(Ⅱ)討論函數的單調區間；
(Ⅲ)若對任意
，不等式
恒成立，求
的取值范圍．
(海南)設函數
(Ⅰ)若當
時，取得極值，求
的值，并討論的單調性；
(Ⅱ)若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于
．
(全國Ⅰ)設函數
．
(Ⅰ)證明：的導數
；
(Ⅱ)若對所有
都有
，求的取值范圍．
(全國Ⅱ文)若函數
在區間
內為減函數，在區間
內為增函數，試求實數的取值范圍.
已知函數
，則方程
在區間
上的根有
個
個
個 
個
(
鄭州一中等四校聯考)若函數
在
上可導且滿足不等式
恒成立，且常數
滿足
，則下列不等式一定成立的是
求滿足條件的的范圍：
使
為上增函數，則的范圍是
使
為上增函數，則的范圍是
使
為上增函數，則的范圍是
證明方程
在
上至多有一實根.
(屆高三陜師大附中八模)如果是二次函數, 且的圖象開口向上,
頂點坐標為
, 那么曲線上任一點的切線的傾斜角
的取值范圍是
(
屆廈門雙十中學高三月考)如圖，是函數
的大致圖像，
|
等于
(天津)函數的定義域是開區間
,
導函數
在內的圖象如圖所示，則函數
在開區間內有極小值點
個 個 個 
個
(屆高三哈爾濱第三中學第一次月考)
函數
的圖象如圖所示，
且
，則有
已知：
，證明不等式：
設
恰有三個單調區間，試確定的取值范圍，并求出這三個單調區間
(屆高三福建質檢)已知函數
在
處取得極值．求實數的值；若關于的方程
在區間
上恰有兩個不同的實數根，求實數
的取值范圍；證明：對任意的正整數
，不等式
都成立．
問題1．(屆云南平遠一中五模)函數
在定義域
內可導，其圖象如圖所示，記的導函數為
，則不等式
的解集為
已知
，
的反函數為
，則
(大連一模)設
均是定義在上的奇函數，當
時，
，且
，則不等式
的解集是
問題2．如果函數
在區間
上單調遞增，并且方程的根都在區間
內，則的取值范圍為
(屆高三浙江上虞市調研)已知
，那么
在區間
上單調遞增 在
上單調遞增
在
上單調遞增
在
上單調遞增
函數
，
(Ⅰ)求的單調區間和極值；
(Ⅱ)若關于的方程
有個不同實根，求實數的取值范圍.
(Ⅲ)已知當
時，≥
恒成立，求實數
的取值范圍.
問題3．(天津)已知函數
，其中
．
(Ⅰ)當
時，求曲線在點
處的切線方程；
(Ⅱ)當
時，求函數的單調區間與極值．
問題4．(湖北)已知定義在正實數集上的函數
，
，其中
．設兩曲線，
有公共點，且在該點處的切線相同．(Ⅰ)用表示，并求的最大值；(Ⅱ)求證：≥
()．
問題5．利用導數求和：
(
, 
).
().
利用導數研究多項式函數單調性的一般步驟:
求;確定在內符號;若
在上恒成立，則在上是增函數；若
在上恒成立，則在上是減函數
①
為增函數(為減函數).
②在區間上是增函數≥在上恒成立；
在區間上為減函數≤在上恒成立.
極大值： 一般地，設函數在點
附近有定義，如果對附近的所有的點，都有
，就說
是函數的一個極大值，記作
極大值
，是極大值點.
極小值：一般地，設函數在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有
就說是函數的一個極小值，記作極小值，是極小值點.
極大值與極小值統稱為極值
在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數值請注意以下幾點：
()極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小.并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小.
()函數的極值不是唯一的即一個函數在某區間上或定義域內極xs大值或極小值可以不止一個.
()極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數的極大值未必大于極小值，如下圖所示，
是極大值點，
是極小值點，而
>
.
()函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點.
當在點連續時，判別是極大、極小值的方法:
若
滿足
，且在的兩側的導數異號，則是的極值點，
是極值，并且如果
在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值.
求可導函數的極值的步驟:
確定函數的定義區間，求導數求方程
的根
用函數的導數為的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么在這個根處無極值.如果函數在某些點處連續但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點 .
函數的最大值和最小值: 一般地，在閉區間
上連續的函數在上必有最大值與最小值．
說明：在開區間
內連續的函數不一定有最大值與最小值．如函數
在
內連續，但沒有最大值與最小值；
函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的．
函數在閉區間上連續，是在閉區間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．
函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個.
利用導數求函數的最值步驟:
由上面函數的圖象可以看出，只要把連續函數所有的極值與定義區間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了．
設函數在上連續，在內可導，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內的極值；
將的各極值與、比較得出函數在上的最值p
求參數范圍的方法：①分離變量法；②構造(差)函數法.
構造函數法是證明不等式的常用方法：構造時要注意四變原則：變具體為抽象，變常量為變量，變主元為輔元，變分式為整式.
通過求導求函數不等式的基本思路是：以導函數和不等式為基礎，單調性為主線，最(極值)為助手，從數形結合、分類討論等多視角進行綜合探索.
(
陜西)為確保信息安全,信息需加密傳輸,發送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規則為：明文
、
、
、
對應密文
，
，
，
.例如：明文
對應密文
.當接收方收到密文
時，則解密得到的明文為
(浙江)函數
：
滿足
，則這樣的函數個數
共有 
個 
個 
個 
個
(廣東文)對于任意的兩個實數對
和
，規定：
，
當且僅當
；運算“
”為：
；
運算“
”為：
，設
，若
，
則
(
全國)已知
，則
(
)
(山東文)設
，則
的值為
(
北京)已知函數
，
分別由下表給出：
則
的值為 ；滿足
的的值是
設
在下圖中,能表示從集合
到集合
的映射是
已知從集合
到集合
的映射
，則該映射的象集為
以上都不對
(
北京東城模擬)設映射：
是實數集
到實數集
的映射，若對于實數
，在中不存在原象，則
的取值范圍是
設集合
，
，定義映射：
，使對任意
，都有
是奇數，則這樣的映射的個數為
若
，則
)
已知
，則不等式
的解集是
設
，，：
是的映射，
設
，則在中的象是什么？
設
，那么
在中的象是什么？
設
，若
在映射下的象為
，則
應是多少？在映射的象是什么？
，
，
；
，
，
；
，
，
．
上述三個對應
是到的映射．
給定映射
，點
的原象是
下列函數中，與函數
相同的函數是
設函數
，則
＝
(湖北八校一聯)設
都是由到的映射，其對應法則如下表(從上到下)：
表一 映射的對應法則
表二 映射的對應法則
|
原象 |
|
|
|
|
|
象 |
|
|
|
|
|
原象 |
|
|
|
|
|
象 |
|
|
|
|
則與
相同的是 
(灌云模擬)設
，從到的映射滿足
，
試確定這樣的映射的個數為
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