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4．空間四邊形的邊AB 、BC 、CD 、DA 的中點分別是E 、F 、G 、H ，若兩條對角線BD 、AC 的長分別為2和4，則EG²+HF² 的值(　　 )．

A．5　B．10　　　 C．20　　　 D．40

3．若一直線和一個平面平行，夾在直線和平面間的兩條線段相等，那么這兩條線段的位置關系是(　　 )．

　A．平行　B．相交　C．異面　D．平行、相交或異面

2．一個面截空間四邊形的四邊得到四個交點，如果該空間四邊形僅有一條對角線與這個截面平行，那么此四個交點圍成的四邊形是(　　)．

　A．梯形　B．任意四邊形　C．平行四邊形　D．菱形

1．設a ，b 是空間兩條垂直的直線，且b∥平面　 ．則在“a∥平面 ”、“a ”、“a與相交”這三種情況中，能夠出現的情況有(　　 )．

　A．0個　B．1　C．2個　D．3個

[例1]已知平面∥平面，直線平面,點P直線,平面、間的距離為8，則在內到點P的距離為10，且到的距離為9的點的軌跡是(　 )

A.一個圓　　 B.四個點　　 C.兩條直線　　　 D .兩個點

錯解：A.

錯因：學生對點線距離、線線距離、面面距離的關系掌握不牢.

正解：B.　

[例2] a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面(　　 ).

　 A．有且只有一個　　　　　　　　 B．一個面或無數個

　 C．可能不存在　　　　　　　　　 D．可能有無數個

錯解：A.

錯因：過a與b垂直的平面條件不清.

正解：C.

[例3]由平面外一點P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A,B,C，O為⊿ABC的外心，求證：.

錯解：因為O為⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因為PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝，所以.

錯因：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是對的，但它們為什么是直角呢？這里缺少必要的證明.

正解：取BC的中點D，連PD、OD，

[例4]如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4,M為AA₁的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC₁到M點的最短路線長為，設這條最短路線與C₁C的交點為N,

求: (1)該三棱柱的側面展開圖的對角線長；

(2)PC和NC的長；

(3)平面NMP和平面ABC所成二面角(銳角)的大小(用反三角函數表示)

錯因：(1)不知道利用側面BCC₁ B₁展開圖求解,不會找 的線段在哪里;(2)不會找二面角的平面角.

正解：(1)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為

(2)如圖，將側面BC₁旋轉使其與側面AC₁在同一平面上，點P運動到點P₁的位置，連接MP₁ ，則MP₁就是由點P沿棱柱側面經過CC₁到點M的最短路線.

設PC＝，則P₁C＝，

在

(3)連接PP₁(如圖)，則PP₁就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH于H，又CC₁平面ABC，連結CH，由三垂線定理的逆定理得，.

[例5] P是平行四邊形ABCD 所在平面外一點，Q 是PA 的中點，求證：PC∥ 平面BDQ ．

　分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內找到一條直線和已知直線平行就可以了．

證明：如圖所示，連結AC ，交BD 于點O ，

∵四邊形ABCD 是平行四邊形.

∴AO=CO ，連結OQ ，則OQ 在平面BDQ 內，且OQ 是 的中位線，∴PC∥OQ ．

∵PC 在平面BDQ 外，∴PC∥平面BDQ ．

點　評：應用線面平行的判定定理證明線面平行時，關鍵是在平面內找一條直線與已知直線平行.

[例6] 在正方體A₁B₁C₁D₁－ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點，O是底面ABCD的中點．求證：EF垂直平面BB₁O．

證明�。� 如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點．

∵E、F分別是AB、BC的中點，

∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC．

∵B₁B⊥平面ABCD,AC平面ABCD

∴AC⊥B₁B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，

又BO與BB₁是平面BB₁O上的兩條相交直線，

∴AC⊥平面BB₁O(線面垂直判定定理)

∵AC∥EF，

∴ EF⊥平面BB₁O．

　[例7]如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 是BB₁ 的中點，O 是底面正方形ABCD 的中心，求證：OE 平面ACD₁ ．

分析：本題考查的是線面垂直的判定方法．根據線面垂直的判定方法，要證明OE 平面ACD₁ ，只要在平面ACD₁ 內找兩條相交直線與OE 垂直．

證明：連結B₁D 、A_!D 、BD ，在△B₁BD 中，

　∵E,O 分別是B₁B 和DB 的中點，

　∴EO∥B₁D ．

　∵B₁A₁ 面AA₁D₁D ，

　∴DA₁ 為DB₁ 在面AA₁D₁D 內的射影．

　又∵AD₁A₁D ，

　∴AD₁DB₁　 ．

　同理可證B₁DD₁C ．

　又∵AD₁，AD₁,D₁C 面ACD₁ ，

　∴B₁D 平面ACD₁ ．

　∵B₁D∥OE ，

　∴OE 平面ACD₁ ．

　點　評：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉化方法．在證明線線垂直時既要注意三垂線定理及其逆定理的應用，也要注意有時是從數量關系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應用．

[例8]．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,點N在BD上, 點M在B₁C上,且CM=DN,求證:MN∥平面AA₁B₁B.

證明：

證法一.如圖,作ME∥BC,交BB₁于E,作NF∥AD,交AB于F,連EF則EF平面AA₁B₁B.

ME=NF

又ME∥BC∥AD∥NF,MEFN為平行四邊形,

MN∥EF.　 　MN∥平面AA₁B₁B.

證法二.如圖,連接并延長CN交BA延長線于點P,連B₁P,則B₁P平面AA₁B₁B.

∽,

又CM=DN,B₁C=BD,

∥B₁P.

　 B₁P平面AA₁B₁B, MN∥平面AA₁B₁B.

證法三.如圖,作MP∥BB₁,交BC于點P,連NP.

MP∥BB₁,

　 BD=B₁C,DN=CM,

NP∥CD∥AB.面MNP∥面AA₁B₁B.

MN∥平面AA₁B₁B.

4.直線與平面的距離一般是利用直線上某一點到平面的距離.“如果在平面的同一側有兩點到平面的距離(大于0)相等，則經過這兩點的直線與這個平面平行.”要注意“同一側”、“距離相等”.

3.在證明垂直時注意線線垂直、線面垂直及面面垂直判定定理和性質定理的反復運用，同時還要注意三垂線定理及其逆定理的運用.要注意線面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”，如果用“無數”或“兩條”都是錯誤的.

2.在證明平行時注意線線平行、線面平行及面面平行判定定理和性質定理的反復運用.

1.斜線與平面所成的角關鍵在于找射影，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角.

7.　　　　　 從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；③垂線段比任何一條斜線段都短.