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4.二面角－－內一點P，分別作兩個面的垂線PA、PB，A、B為垂足．已知PA=3，PB=2，∠APB=60°求－－的大小及P到的距離．

3．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是AB和AD的中點，則點A₁到平面EFB₁D₁的距離為　　　　　　　

2．異面直線a , b所成的角為，過空間一定點P，作直線，使與a ,b 所成的角均為，這樣的直線有　　　　 條.

1．在平面角為60⁰的二面角內有一點P，P到α、β的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱的距離為____________.

[例1]　平面外有兩點A,B，它們與平面的距離分別為a,b，線段AB上有一點P，且AP:PB=m:n，則點P到平面的距離為_________________.

錯解：.

錯因：只考慮AB在平面同側的情形，忽略AB在平面兩測的情況.

正解：　 .

[例2]與空間四邊形ABCD四個頂點距離相等的平面共有______個.

錯解：4個.

錯因：只分1個點與3個點在平面兩側.沒有考慮2個點與2個點在平面兩側.

正解：7個.

[例3]一個盛滿水的三棱錐形容器，不久發現三條側棱上各有一個小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的(　　　 )

A.　 　　B.　 　　C. 　　 D.　

錯解：A、B、C.由過D或E作面ABC的平行面，所截體計算而得.

正解：D.

當平面EFD處于水平位置時，容器盛水最多

最多可盛原來水得1－

[例4]斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為a的正三角形，側棱長等于b，一條側棱AA₁與底面相鄰兩邊AB、AC都成45⁰角，求這個三棱柱的側面積.

錯解：一是不給出任何證明，直接計算得結果；二是作直截面的方法不當，即“過BC作平面與AA₁垂直于M”；三是由條件“∠A₁AB=∠A₁AC∠AA₁在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線”不給出論證.

正解：過點B作BM⊥AA₁于M，連結CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=45⁰，MA為公共邊，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=90⁰，∴AA₁⊥面BHC，即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin45⁰=a，∴BMC周長為2xa+a=(1+)a，且棱長為b，∴S_側=(1+)ab

[例5]已知CA⊥平面α，垂足為A；AB α，BD⊥AB，且BD與α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D兩點間的距離.

解　: 本題應分兩種情況討論：

(1)如下左圖.C，D在α同側：過D作DF⊥α，垂足為F.連BF，則于是.

根據三垂線定理BD⊥AB得BF⊥AB.

在Rt△ABF中，AF=

過D作DEAC于E，則DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故

CD=

(2)如上右圖.C，D在α兩側時：同法可求得CD=

點　評: 本題是通過把已知量與未知量歸結到一個直角三角形中，應用勾股定理來求解.

[例6]如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，.

(1)試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；

(2)在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于.

并證明你的結論.

解：解法一(1)連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，,連結OG，因為

PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP與平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，當m＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為.

(2)可以推測，點Q應當是A_IC_I的中點O₁，因為

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根據三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直。

解法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B₁(1，1，1)，D₁(0，0，1)

所以

又由知，為平面的一個法向量。

設AP與平面所成的角為，則。依題意有解得。故當時，直線AP與平面所成的角的正切值為。

(2)若在A₁C₁上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為，則Q(x，1－，1)，。依題意，對任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，等價于D₁Q⊥AP即Q為A₁C₁的中點時，滿足題設要求。

[例7]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P為平面ABCD外一點，PAD是正三角形，且PA⊥AB，

求：(1)平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；

(2)D點到平面PBC的距離．

解: (1)設AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交線，依題設條件得PA=AD=AE，則∠EPD=90°，PD⊥PE

又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD．

∵ DC∥AB，∴ DC⊥平面PAD．

由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC與平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan，．

(2)由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC，

因此平面PDC⊥平面PBC，

作DH⊥PC，H是垂足，則DH是D到平面PBC的距離．

在Rt△PDC中，，DC=2，，．

平面PBC與平面PAD成二面角的大小為arctan，D到平面PBC的距離為.

[例8] 半徑為1的球面上有A、B、C三點，A與B和A與C的球面距離都是，B與C的球面距離是，求過A、B、C三點的截面到球心O距離．

分析　： 轉化為以球心O為頂點，△ABC為底面的三棱錐問題解決．

由題設知△OBC是邊長為1的正三角形，△AOB和△AOC是腰長為1的全等的等腰三角形．

取BC中點D，連AD、OD，易得BC⊥面AOD，進而得面AOD⊥面ABC，過O作OH⊥AD于H，則OH⊥面ABC，OH的長即為

所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=

點評： 本題若注意到H是△ABC的外心，可通過解△ABC和△AHO得OH．或利用體積法．

5．要注意距離和角在空間求值中的相互作用，以及在求面積和體積中的作用.

4．球面上兩點間的距離是指經過這兩點的球的大圓的劣弧的長，關鍵在于畫出經過兩點的大圓以及小圓.

3．空間距離的計算一般將其轉化為兩點間的距離.求點到平面距離時，可先找出點在平面內的射影(可用兩個平面垂直的性質)，也可用等體積轉換法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圓心的距離由勾股定理得

2．求二面角大小時，關鍵是找二面角的平面角，可充分利用定義法或垂面法等.

1．求空間角的大小時，一般將其轉化為平面上的角來求，具體地將其轉化為某三角形的一個內角.