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1．一個直立在水平面上圓柱體的主視圖、俯視圖、左視圖分為(　)

A．長方形、圓、矩形　　　　　　 B．矩形、長方形、圓

C．圓、長方形、矩形　　　　　　 D．長方形、矩形、圓

[例1]如圖，該物體的俯視圖是(　).

錯解：B.

錯因：投影方向不對.

正解：C.

[例2] 如圖所示的正方體中，E、F分別是AA₁,D₁C₁的中點，G是正方形BDB₁D₁的中心，則空間四邊形AGEF在該正方體面上的投影不可能是( )

A　　　　　　　　 B　　　　　　　 C　　　　　　　 D

錯解：C.

正解：D

　[例3]水平放置的△ABC有一邊在水平線上，它的直觀圖是正△A₁B₁C₁，則△ABC是(　 )

A. 銳角三角形　B. 直角三角形　　C. 鈍角三角形　 　D. 任意三角形

錯解：B.

錯因：不熟悉斜二側畫法的規則.

正解:C.

[例4] 正方體的全面積是a²，它的頂點都在球面上，這個球的表面積是(　 ).

A. 　　 　　 B. 　　　　 C. 　　　　　　 D.

錯解：A.

錯因：對正方體和球的關系理解不清.

正解:B.正方體的對角線就是球的直徑.

[例5]如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經過四面體的內切球(與四個面都相切的球)球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S₁，S₂，則必有(　 )

A.S₁<S₂B.S₁>S₂C.S₁=S₂D.S₁，S₂的大小關系不能確定

解：連OA、OB、OC、OD

則V_A－BEFD＝V_O－ABD+V_O－ABE+V_O－BEFD

V_A－EFC＝V_O－ADC+V_O－AEC+V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC而每個三棱錐的高都是原四面體的內切球的半徑，故S_ABD+S_ABE+S_BEFD＝S_ADC+S_AEC+S_EFC又面AEF公共，故選C

[例6]正三棱臺A₁B₁C_1-ABC的側面與底面成45°角，求側棱與底面所成角的正切值.

解：解法一　如圖，設O₁，O為上下底面正三角形的中心，連接O₁O，A₁O₁交A₁B₁于D₁，AO交AB于D.連接D₁D.易證A₁O₁⊥B₁C₁，AD⊥BC，D₁D⊥BC，過A₁，D₁分別作A₁E⊥底面ABC，D₁F⊥底面ABC，易證E、F在AD上.

因為正三棱臺A₁B₁C_1-ABC的側面與底面成45°的二面角，所以∠D₁DA=45°.因此A₁E=O₁O=D₁F=FD.設該正三棱臺上下底面的邊長為a,b,則AD=b,A₁D₁=a.

所以　 A₁E=O₁O=D₁F=FD=b-= (b-a).

AE=(b-a).

所以　 tan∠A₁AE=.

解法二　如圖，延長AA₁，BB₁，CC₁，則AA₁，BB₁，CC₁相交于一點S.顯然點S在DD₁的延長線上.由解法一得知，∠SDA為二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°.

所以　 在RtΔSOD中，SO=OD，

因為　 AO=2·OD，所以　 tan∠SAO=.

點評:由此例可以看出，在解決棱臺的問題時，“還臺為錐”利用棱錐的性質來解決棱臺問題是一種快捷方便的方法.

[例7] 粉碎機的下料斗是正四棱臺形，如圖所示，它的兩底面邊長分別是80 mm和440 mm，高是200 mm，計算：

(1)這個下料斗的體積；

(2)制造這樣一個下料斗所需鐵板的面積(保留兩個有效數字)？

分析：要求下料斗所需鐵板的面積，就是求正四棱臺的側面積.正四棱臺的側面積公式是S_側＝(c+c＇)h＇.

解：(1)因為S_上＝440²mm²，S_下＝80² mm²，h＝200 mm

(2)下底面周長c＇＝4×80＝320mm，

　　　 下底面周長c＝4×440＝1760mm，

　　　 斜高h＇＝

　　　 S_正棱臺側＝(c+c＇)h＇＝(1760+320)×269≈2.8×10⁵(mm²)

答：這個下料斗的體積約為1.6×10⁷mm³，制造這樣一個下料斗需鐵板約2.8×10⁵mm².

點評：對于實際問題，須分清是求幾何體的表面積，還是求側面積，還是求側面積與一個底面面積的和，還是求體積.

2．主視圖的上、下、左、右對應物體的上、下、左、右；俯視圖的上、下、左、右對應物體的后、前、左、右；左視圖的上、下、左、右對應物體的上、下、后、前.

1．三視圖間基本投影關系的三條規律：主視圖與俯視圖長對正，主視圖與左視圖高平齊，俯視圖與左視圖寬相等.概括為“長對正，高平齊，寬相等”；看不見的畫虛線.

3.　　 注意投影和射影的關系，以及在解題中的作用.

2.　　 了解三視圖的有關概念(視圖是指將物體按正投影向投影面投　射所得到的圖形.光線自物體的前面向后面投射所得的投影稱之為主視圖或正視圖，自上而下的稱為俯視圖，自左向右的稱為左視圖，用這三種視圖刻畫空間物體的結構，稱之為三視圖);了解三視圖畫法規則，能作出物體的三視圖.

1.　　 了解投影(投影線通過物體，向選定的面透射，并在該面上得到圖形的方法)、中心投影(投射線交于一點的投影稱為中心投影)、平行投影(投影線互相平行的投影稱為平行投影)、斜投影(平行投影投射方向不是正對著投影面的投影)、正投影(平行投影投射方向正對著投影面的投影)的概念.

7.如圖，已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC的底面是邊長為2的正三角形，側棱A₁A與AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F.

(1)求點A到平面B₁BCC₁的距離；

(2)當AA₁多長時，點A₁到平面ABC與平面B₁BCC₁的距離相等.

§6.5空間幾何體及投影

6.如圖：二面角α--β為銳角，P為二面角內一點，P到α的 距離為，到面β的距離為4，到棱的距離為，求二面角α- -β的大小.

5.ABCD是邊長為4的正方形，CG⊥面ABCD，CG = 2．E、F分別是AD、AB的中點．求點B到面EFG的距離．