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3.排列與組合的聯系

同步練習　 　　　　10.2 組合

[選擇題]

2.帶限制條件的組合問題.

1.組合的概念，組合數的公式和性質：

[例1]求值:(1);　　 (2)

解(1)由組合定義知:

.

(2)

　 　◆ 特別提示：排列組合中對n，m的限制。

[例2]用正五棱柱的10個頂點中的5個做四棱錐的5個頂點，共可得到多少個四棱錐？

解：解法1 直接法：共面而不共線的四點可成為四棱錐的底面，再在平面外找一點為頂點就形成了四棱錐，于是可從四棱錐的底面四點著眼，將構成棱錐的5個頂點的取法分類。

按照構成四棱錐的底面四點分為以下四類；

(1)四點取在棱柱的底面上有2CC=50個；

(2)四點取在棱柱的側面上有5C=30個；

(3)四點取在棱柱的對角面上有5C=30個；

(4)四點取在以過一個底面中的一條對角線和另一個底面中與其平行的一邊所確定的面上有2×5C=60個。

所以共可組成50+30+30+60=170個四棱錐。

解法2 間接法. C中去掉五點共面和無四點共面的兩種情況，算式為C-2C-4×4C=170(個)。

[例3]球臺上有4個黃球，6個紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，欲將此十球中的4球擊入袋中，但總分不低于5分，擊球方法有幾種？

解：設擊入黃球x個，紅球y個符合要求，

則有　 x+y=4，

2x+y≥5(x、y∈N)，得1≤x≤4.

∴

相應每組解(x，y)，擊球方法數分別為CC，CC，CC，CC.

共有不同擊球方法數為CC+CC+CC+CC=195.

[例4]有11名外語翻譯人員，其中5名英語翻譯員，4名日語翻譯員，另兩名英、日語都精通，從中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個小組能同時工作，問這樣的分配名單共可開出幾張?

分析：既精通英語，又精通日語的“多面手”是特殊元素，所以可以從他們的參與情況入手進行分類討論.

解：按“多面手”的參與情況分成三類.

第一類：多面手不參加，這時有CC種；

第二類：多面手中有一人入選，這時又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有CCC+CCC種；

第三類：多面手中兩個均入選，這時又分三種情況：兩個都譯英文、兩個都譯日文、兩人各譯一個語種，因此有CCC+CCC+CCCC種.

綜上分析，共可開出CC+CCC+CCC+CCC+CCC+ CCCC=

185種.

法2.先安排翻譯英文人員，后安排翻譯日文人員進行分類求解，共有

CC+CCC+CCC=185種.

[研討.欣賞]從1到100這100個正整數中，每次取出2個數使它們的和大于100，共有多少種取法?

解：(1)若取出的2個數都大于50，則有C種.

(2)若取出的2個數有一個小于或等于50，

當取1時，另1個只能取100，有C種取法；

當取2時，另1個只能取100或99，有C種取法；

……

當取50時，另1個數只能取100，99，98，…，51中的一個，有C種取法，所以共有1+2+3+…+50=.

故取法種數為C+=+=2500.

8.最短路徑須走七步，只需確定哪三步向上，走法．類似得=種走法。

8. 從一個3×4的方格中的一個頂點A到對頂頂點B的

最短路線有________條;

如果某城市由n條東西方向的街道和m條南北方向的街

道組成一個矩形街道網，如圖，要從A處走到B處，使所走

的路程最短,則不同的走法有_________種

◆練習簡答:1-3. BCD; 4.設素菜n種，則C·C≥200n(n－1)≥40，n的最小值為7;　 5.1260;　 6. C·C=20種;　 7.讓三只不亮的燈插空,C=20;

7.馬路上有編號為1，2，3，…，10的十只路燈，為節約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉的情況下，則滿足條件的關燈方法有___________種.

6.(2005全國Ⅰ)設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子.現將這五個球投放入這五個盒子內，要求每個盒子內投放一球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法有多少種?

5.(2006江蘇)今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這9個球排成一列有　　 　種不同的方法(用數字作答)。

4.某餐廳供應客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2菜2素共4種不同的品種.現在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需要不同的素菜品種_____________種.(結果用數值表示)