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21．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)設橢圓的半焦距為，依題意

，所求橢圓方程為．

(Ⅱ)設，．

(1)當軸時，．

(2)當與軸不垂直時，

設直線的方程為．

由已知，得．

把代入橢圓方程，整理得，

，．

．

當且僅當，即時等號成立．當時，，

綜上所述．

當最大時，面積取最大值．

21. (本小題滿分12分)

已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.

20. 解：(1)∵ 點 在直線上， ∴，　 ……(1分)

當n=1時，，　　 ……(2分)

又 則，∴ 　　　……(4分)

(2) 由 (1) 知 　①，　 當時， ②　 ……(6分)

①－②，得 ， 　　　　　　……(8分)

又，易見，∴ 　　　……(9分)

所以，是等比數列.　　　 ……(10分)

(3)由(2)知，的公比為2，　　 ……(11分)

所以 .　 　……(12分)

20．(本題滿分12分)

已知數列的前項和為，，且點在直線上　

(1)求k的值；

(2)求證是等比數列；

(3)求的值.

19．(本小題滿分12分)

在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁A=AB=3，AC=3，∠CAB=90°，P、Q分別為棱BB₁、CC₁上的點，且BP=BB₁，CQ=CC₁.

(1)求平面APQ與面ABC所成的銳二面角的大小.

(2)在線段A₁B(不包括兩端點)上是否存在一點M，使AM+MC₁最小？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由.

[解析](1)建立如圖所示空間直角坐標系A－xyz.

A(0，0，0)，P(3，0，)，Q(0，3，2)，

=(3，0，)，=(0，3，2).

設平面APQ的一個法向量為n₁=(x,y,z)

令z=3，則x=－1，y=－2，∴n₁=(－1，－2，3)

平面ABC的一個法向量n₂=(0，0，1).

∴cos〈n₁，n₂〉=

∴平面APQ與面ABC所成的銳角大小為45°.　 (6分)

(1)問也可用傳統方法求解.(并參照計分)

(2)沿A₁B將面A₁BC₁與面A₁BA展開，連結AC₁與A₁B交于點M，此時AM+MC₁有最小值.

∵∠A₁AB=90°，AA₁=AB，∴∠A₁AB=45°，又C₁A₁⊥面ABB₁A₁，∴C₁A₁⊥A₁B.

∴△AA₁C₁中，∠AA₁C₁=135°

AC₁=,

∴存在點M，使AM+MC₁取最小值為3.　 (12分)

17、(本小題滿分10分)

設函數，其中向量，，，且的圖象經過點．

(Ⅰ)求實數的值；

(Ⅱ)求函數的最小值及此時值的集合．

解：(Ⅰ)，

由已知，得．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，

當時，的最小值為，

由，得值的集合為．

(18)(本小題滿分12分)廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發給商家時，商家按合同規定也需隨機抽取一定數量的產品做檢驗，以決定是否接收這批產品.

(Ⅰ)若廠家庫房中的每件產品合格的概率為0.8，從中任意取出4件進行檢驗.求至少有1件是合格品的概率;

(Ⅱ)若廠家發給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規定該商家從中任取2件，都進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產品，否則拒收.求該商家可能檢驗出不合格產品數的分布列及期望，并求該商家拒收這批產品的概率.

(18)本題考察相互獨立事件、互斥事件等的概率計算，考察隨機事件的分布列，數學期望等，考察運用所學知識與方法解決實際問題的能力。

解：(Ⅰ)記“廠家任取4件產品檢驗，其中至少有1件是合格品”為事件A

　 用對立事件A來算，有

(Ⅱ)可能的取值為

，，

記“商家任取2件產品檢驗，都合格”為事件B，則商家拒收這批產品的概率

所以商家拒收這批產品的概率為

　　 15,　　　　　　　　　　　 　　　 16,　　　　　　　　　　 　　　

16、函數的單調遞增區間是＿＿＿＿．

15．設直線ax－y+3=0與圓(x－1)²+(y－2)²=4相交于A、B兩點，且弦長為，則a=　 0 　.

14、設等差數列的公差是2，前項的和為，則3