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17.(14分)如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁是菱形，四邊形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°.

(1)求證：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；

(2)求直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角的正切值；

(3)求點C₁到平面A₁CB的距離.

(1)證明　 ∵四邊形BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁.

又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A₁ABB₁.

∵BC平面CA₁B，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁.

(2)解　 過A₁作A₁D⊥B₁B于D，連接DC，∵BC⊥平面A₁ABB₁，

∴BC⊥A₁D. ∵BC∩BB₁=B，

∴A₁D⊥平面BCC₁B₁，

故∠A₁CD為直線A₁C與平面BCC₁B₁所成的角.

在矩形BCC₁B₁中，DC=.

∵四邊形A₁ABB₁是菱形，∠A₁AB=60°,

AB=4，∴A₁D=2，

∴tan∠A₁CD===.

(3)解　 ∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥平面A₁BC，

∴C₁到平面A₁BC的距離即為B₁到平面A₁BC的距離.

連接AB₁，AB₁與A₁B交于點O，

∵四邊形A₁ABB₁是菱形，∴B₁O⊥A₁B.

∵平面CA₁B⊥平面A₁BB₁，∴B₁O⊥平面A₁BC.

∴B₁O即為C₁到平面A₁BC的距離.

∵B₁O=2，∴C₁到平面A₁BC的距離為2.

16.(14分)一個多面體的直觀圖和三視圖(正視圖、左視圖、俯視圖)如圖所示，M、N分別為A₁B、B₁C₁的中點.求證：

(1)MN∥平面ACC₁A₁；

(2)MN⊥平面A₁BC.

證明　 由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，

且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.

(1)連接AC₁，AB₁.

由直三棱柱的性質得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

所以AA₁⊥A₁B₁，則四邊形ABB₁A₁為矩形.

由矩形性質得AB₁過A₁B的中點M.

在△AB₁C₁中，由中位線性質得MN∥AC₁，

又AC₁平面ACC₁A₁，

MN平面ACC₁A₁，

所以MN∥平面ACC₁A₁.

(2)因為BC⊥平面ACC₁A₁，AC₁平面ACC₁A₁，

所以BC⊥AC₁.

在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁.

又因為BC∩A₁C=C，

所以AC₁⊥平面A₁BC.

由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC.

15.(2008·江蘇，16)(14分)在四面體ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分別是AB，BD的中點，求證：

(1)直線EF∥平面ACD;

(2)平面EFC⊥平面BCD.

證明　 (1)∵E,F分別是AB,BD的中點,

∴EF是△ABD的中位線,∴EF∥AD.

∵EF平面ACD,AD平面ACD,

∴直線EF∥平面ACD.

(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.

∵CB=CD,F是BD的中點,

∴CF⊥BD.又EF∩CF=F,

∴BD⊥平面EFC.

∵BD平面BCD,

∴平面EFC⊥平面BCD.

14. 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D是A₁C₁的中點，點E在棱AA₁上，要使CE⊥平面B₁DE，則AE=　　　　　　 .　

答案　 a或2a

13.若l、m、n是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是　　　　　　　 (填序號).

①若∥,l,n，則l∥n

②若⊥，l,則l⊥

③若l⊥n,m⊥n,則l∥m

④若l⊥,l∥,則⊥

答案　 ④

12.設a,b,c是空間中互不重合的三條直線，

①若a∥b,b∥c,則a∥c;

②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;

③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；

④若a平面,b平面,則a,b一定是異面直線；

⑤若a,b與c成等角，則a∥b.

上述命題中正確的是　　　　　　 (只填序號).

答案　 ①

11.已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為2，則側面與底面所成的二面角等于　　　　　 .

答案　

10.(2008·全國Ⅱ理，10)已知正四棱錐S-ABCD的側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE、SD所成的角的余弦值為　　　　　　 .　

答案　

9.在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E、F分別為棱AA₁、BB₁的中點，G為棱

A₁B₁上的一點，且A₁G=(0≤≤1),則點G到平面D₁EF的距離為　　　　 .

答案　

8. 矩形ABCD的兩邊AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，且PA=，則二面角A-BD-P的度數為　　　　　　 .　

答案　 30°