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7.在△ABC中，=a，=b，M是CB的中點，N是AB的中點，且CN、AM交于點P，則可用a、b表示為　　　　 .

答案　 -a+b

6.已知平面內有一點P及一個△ABC，若++=，則點P在線段　　　　　 　上.

答案　 AC

5.設=x+y，且A、B、C三點共線(該直線不過端點O)，則x+y=　　　　　 .

答案　 1

4.如圖所示，平面內的兩條相交直線OP₁和OP₂將該平面

分割成四個部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括邊界).若

=a₁+b₂，且點P落在第Ⅲ部分，則實數a，b滿足

a　　　　 0,b　　　　 0.(用“＞”,“＜”或“=”填空)

答案　 ＞ ＜

3.若=3e₁，=-5e₁，且||=||，則四邊形ABCD是　　　　　　 .

答案　 等腰梯形

2.(2008·全國Ⅰ理)在△ABC中，=c，=b，若點D滿足=2，則=　　　 (用b,c表示).

答案　 b+c

1.下列算式中正確的是　　　　 (填序號).

①++=0 　　　②-=　　 　③0·=0 　　　　④(a)=··a

答案　 ①③④

20. (2008·浙江理，18) (16分)如圖所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.　

(1)求證:AE∥平面DCF;　

(2)當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為60°?　

方法一　 (1)證明　 過點E作EG⊥CF交CF于G，　

連接DG.可得四邊形BCGE為矩形，　

又四邊形ABCD為矩形，　

所以AD　 EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，　

故AE∥DG.　

因為AE平面DCF，DG平面DCF，　

所以AE∥平面DCF.

(2)解　 過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH.　

由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，　

得AB⊥平面BEFC，　

從而AH⊥EF，所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角.　

在Rt△EFG中，因為EG=AD=，EF=2，　

所以∠CFE=60°,FG=1,　

又因為CE⊥EF,所以CF=4,　

從而BE=CG=3.　

于是BH=BE·sin∠BEH=.　

因為AB=BH·tan∠AHB=×=，　

所以當AB為時，二面角A-EF-C的大小為60°.　

方法二　 如圖所示,以點C為坐標原點,以CB、CF和CD所在直線分別作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系C-xyz.　

設AB=a，BE=b，CF=c，

則C(0，0，0)，A(，0，a)，　

B(，0，0)，E(，b，0)，F(0，c，0).　

(1)證明　 =(0，b，-a)，=(，0，0)，=(0，b，0)，　

所以·=0，·=0，從而CB⊥AE，CB⊥BE.　

AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.　

因為CB⊥平面DCF，　

所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.　

故AE∥平面DCF.　

(2)解　 因為=(-，c-b，0)，=(，b，0).　

·=0，||=2，　

所以　 解得

所以E(，3，0)，F(0，4，0).　

設n=(1,y,z)與平面AEF垂直，　

則n·=0，n·=0，解得n=(1,,).　

又因為BA⊥平面BEFC，=(0，0，a)，　

所以|cos〈n, 〉|=　

解得a=.　

所以當AB為時，二面角A-EF-C的大小為60°.

19.(16分)如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E為AB上一點，將B點沿線段EC折起至點P，連接PA、PC、PD，取PD的中點F，若有AF∥平面PEC.

(1)試確定E點位置；

(2)若異面直線PE、CD所成的角為60°，并且PA的長度大于a，

求證：平面PEC⊥平面AECD.

(1)解　 E為AB的中點.

證明如下:取PC的中點G，連接GE，GF.

由條件知GF∥CD，EA∥CD，∴GF∥EA.

則G、E、A、F四點共面.

∵AF∥平面PEC，

平面GEAF∩平面PEC=GE，

∴FA∥GE.

則四邊形GEAF為平行四邊形.

∴GF=AE，∵GF=CD，∴EA=CD=BA.

即E為AB的中點.

(2)證明　 ∵EA∥CD，PE、CD所成的角為60°，且PA的長度大于a.

∴∠PEA=120°.

∵PE=BE=EA=a，∴PA=a.

取CE的中點M，連接PM，AM，BM，在△AEM中，　　　　　　　　　　　　　　

AM==a.

∵PM=BM=a，∴PM²+AM²=PA².

則∠PMA=90°，PM⊥AM.

∵PM⊥EC，EC∩AM=M，

∴PM⊥平面AECD.

∵PM平面PEC，

∴平面PEC⊥平面AECD.

18.(16分)三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A₁B₁C₁，

∠BAC=90°,A₁A⊥平面ABC,A₁A=,AB=,AC=2,A₁C₁=1,=.

(1)證明:平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；

(2)求二面角A-CC₁-B的余弦值.

方法一　 (1)證明　 ∵A₁A⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A₁A⊥BC.

在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.

∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,

∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,

即AD⊥BC.

又A₁A∩AD=A,∴BC⊥平面A₁AD.

∵BC平面BCC₁B₁,∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.

(2)解　 如圖①,作AE⊥C₁C交C₁C于E點,連接BE,由已知得AB⊥平面ACC₁A₁,

∴AE是BE在平面ACC₁A₁內的射影.

由三垂線定理知BE⊥CC₁,

∴∠AEB為二面角A-CC₁-B的平面角.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 圖①

過C₁作C₁F⊥AC交AC于F點,

則CF=AC-AF=1,

C₁F=A₁A=,∴∠C₁CF=60°.

在Rt△AEC中,

AE=ACsin60°=2×=,

在Rt△BAE中,tan∠AEB===,

∴cos∠AEB=,

即二面角A-CC₁-B余弦值為.

方法二　 (1)　 證明　 如圖②,建立空間直角坐標系,　

圖②

則A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),　

A₁(0,0,),C₁(0,1, ).　

∵BD∶DC=1∶2,∴=,　

∴D點坐標為,　

∴=, =(-,2,0),=(0,0,).　

∵·=0，·=0，　

∴BC⊥AA₁，BC⊥AD.又A₁A∩AD=A，　

∴BC⊥平面A₁AD.又BC平面BCC₁B₁，　

∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.　

(2)解　 ∵BA⊥平面ACC₁A₁，取m==(,0,0)為平面ACC₁A₁的法向量.　

設平面BCC₁B₁的法向量為n=(x,y,z),　

則·n=0，·n=0，

∴　

∴x=y，z=，可取y=1，則n=，　

cos〈m,n〉=

=,　

即二面角A-CC₁-B的余弦值為.