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如圖所示.矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直. BE∥CF.∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2. (1)求證:AE∥平面DCF; (2)當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為60°? 方法一 (1)證明過點E作EG⊥CF交CF于G. 連接DG.可得四邊形BCGE為矩形. 又四邊形ABCD為矩形. 所以AD EG.從而四邊形ADGE為平行四邊形. 故AE∥DG. 因為AE平面DCF.DG平面DCF. 所以AE∥平面DCF. (2)解過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H.連接AH. 由平面ABCD⊥平面BEFC.AB⊥BC. 得AB⊥平面BEFC. 從而AH⊥EF.所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角. 在Rt△EFG中.因為EG=AD=.EF=2. 所以∠CFE=60°,FG=1, 又因為CE⊥EF,所以CF=4, 從而BE=CG=3. 于是BH=BE·sin∠BEH=. 因為AB=BH·tan∠AHB=×=. 所以當AB為時.二面角A-EF-C的大小為60°. 方法二如圖所示,以點C為坐標原點,以CB.CF和CD所在直線分別作為x軸.y軸和z軸.建立空間直角坐標系C-xyz. 設AB=a.BE=b.CF=c. 則C.A(.0.a). B(.0.0).E(.b.0).F. (1)證明 =.=(.0.0).=. 所以·=0.·=0.從而CB⊥AE.CB⊥BE. AE∩BE=E.所以CB⊥平面ABE. 因為CB⊥平面DCF. 所以平面ABE∥平面DCF.AE平面ABE. 故AE∥平面DCF. (2)解因為=(-.c-b.0).=(.b.0). ·=0.||=2. 所以解得所以E(.3.0).F. 設n=與平面AEF垂直. 則n·=0.n·=0.解得n=(1,,). 又因為BA⊥平面BEFC.=. 所以|cos〈n, 〉|= 解得a=. 所以當AB為時.二面角A-EF-C的大小為60°. 【查看更多】

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