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1、【原創(chuàng)】（     ）

（A）     （B）     （C）    （D）

①本題的命題意圖：向量是新教材增加的內(nèi)容之一，是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的有力工具，向量的中心內(nèi)容是數(shù)量積。考試說明對平面向量數(shù)量積的要求：1.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算。2.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角。

②本題的解題要點：本題考查了平面三角形的熱點“三心”問題。要求角C的大小，考慮同弧所對的圓心角與圓周角的倍角關(guān)系，故只需求對應(yīng)的圓心角的大小，其中關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)換與的夾角。而與的夾角通過數(shù)量積的運算得到。

解：由得

    兩邊平方，得

    又,所以＝0，所以＝

    從而角C為，故選（C）

2、【原創(chuàng)】小剛在對函數(shù)與函數(shù)的圖象比較時，得出以下幾個結(jié)論：

①這兩個函數(shù)在x=0處的導數(shù)值均為0；

②這兩個函數(shù)的導函數(shù)在都遞減;

③這兩個函數(shù)的導函數(shù)在都遞增。

   你認為小剛的結(jié)論正確的序號為（   ）。

A. (1)       B.(2)        C.(2)(3)     D.(1)(2)(3)

［答案及評分標準］：對①，

                   故①錯誤。

          對②導函數(shù)為二次函數(shù)，圖象在單調(diào)遞減；

               導函數(shù)，而cos2x 在是遞增的，故在上是遞減的，這樣②正確。

 同理③也正確，因此正確答案為 C .

［試題來源］： 原創(chuàng)

［命題意圖］： 了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。

［解題要點］：本題的考查內(nèi)容是函數(shù)導數(shù)及性質(zhì)，難度稍難。對函數(shù)與函數(shù)的圖象，很多同學誤以為這兩個圖象是同種類型，是是壓縮到一個周期而已。事實上他們差別很大，這是設(shè)計第一問的目的。 ②③兩問是考查導函數(shù)的單調(diào)性，可能有老師會用二次求導來做，但不用二次導數(shù)，用常規(guī)方法來判斷單調(diào)性也簡單。按定義一步一步地做，關(guān)鍵是對照定義，易錯點是學生只根據(jù)與函數(shù)的圖象相似而主觀臆斷。

1、【改編】 在ABC中，∠C=90°，則cos²A+cos²B=1，用類比的方法猜想三棱堆的類似性質(zhì)為：

在三棱堆A-BCD中，三個側(cè)面ACD，ABD，ABC兩兩垂直，且與底面所成的角分別為則    。

證明：如圖，作AH平面BCD于H，連BH并延長，交CD于F,連AF,

因為三個側(cè)面ACD，ABD，ABC兩兩垂直，易證AB平面ACD,

從而ABAF，BFCD, AFCD.中，AHBF,

由射影定理：AF²=FH×FB,因為,

則=

同理：,。所以，

  。

①本題的命題意圖： 通過類比，引導學生推廣數(shù)學命題，或通過類比，探求解題途徑，深化對知識的理解，對數(shù)學思想方法的掌握。通過類比，拓展學生的數(shù)學能力，提高學生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，提高學生的實踐能力和創(chuàng)新精神。

②本題的解題要點：類比推理中一個重要類型是，平面幾何中的結(jié)論推廣到空間幾何：點   線；線     面；面    體 。所以 ，線線角     二面角，提煉出這樣一個模型，是本題關(guān)鍵。難點是射影定理的使用及面積轉(zhuǎn)換。

原題的出處：（2003年全國）在平面幾何中，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AC²+AB²=BC²”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則.

證明仿上：略

2、［試題正文] 已知點P是函數(shù)f(x)=圖像上異于原點的一點，則過點P的曲線f(x)的切線與曲線f(x)的公共點有                個.

［答案及評分標準］2個

［試題來源］原創(chuàng)

［命題意圖］根據(jù)“考試說明”中的導數(shù)的幾何意義要求為“理解導數(shù)的幾何意義”，于是，對于切線的概念必須有一個明確理解，特別是切線的定義與初中圓的切線的定義有較大的區(qū)別. 鑒于此，本題命制的關(guān)鍵點立足于“公共點”上. 本題屬中檔難度.

［解題要點］
關(guān)鍵點：本題應(yīng)從常規(guī)的求曲線的切線方法中求解，就比較容易得到正確的答案. 解題如下：
設(shè)曲線上一點P，則在P點處的切線的斜率為：，根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程為：. 于是，切線與曲線的交點可由下列方程組求得：

整理得，(x-x₀)²(x+2x₀)=0，從而得到，x=x₀，或x=2x₀.
∵P不是原點，∴x₀≠0，于是，上述方程有兩個實數(shù)根，即切線與曲線有兩個公共點.
當然，本題可以從x→∞時，曲線的變化趨勢也能得到正確的答案，無論時x→+∞，還是x→-∞，其切線的斜率均在增大，曲線就變的越來越陡，從而總能使切線（變化率恒定）與曲線（變化率無限增加≥-4）相交.
難點：正如一般填空題的難點一樣，本題是一個小題卻要從“通性通法”處解決，一方面比較繁，另一方面不容易想到. 同時，用圖像解決還會有畫圖不準確的困難.
注意點或易錯點：容易錯誤地填上答案：1個或2個. 由于本題的函數(shù)是個三次函數(shù)，學生比較熟悉，許多學生會利用函數(shù)圖像的草圖，不容易考察到無限遠處的情況，如直線l₁與曲線的公共點情況不容易真實考慮。

[延伸]把正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7…中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下的三角形數(shù)表：

設(shè)三角形數(shù)表中第m行的第一個數(shù)為a_m，

(I)試用m表示a_m；

(II)請判斷2009是該三角形數(shù)表中的第幾行第幾個數(shù)；

(III)已知函數(shù)f(x) ＝()ⁿ?（x＞0），若記三角形

數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b_n，求數(shù)列{f(b_n)}的前n項和S_n．

解：（I）第m行第一個數(shù)是2?；…………………3分

 (II)依題意，先求使得m是不等式≤2009的最大整數(shù)解，

由≤2007得≤0，

∵m ∈N^*，∴0m＜＝＝45.5, ∴m＝45，

于是，第45行第一個數(shù)是45²－45＋1＝1981，∴m＝，

所以，2009是45行的第15個數(shù)．……………………………………………………7分

 (III) ∵第n行第一個數(shù)是n²－n＋1,且有n個數(shù)，

若將n²－n＋1看成第n行第一個數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為2的等差數(shù)列，

故b_n＝n(n²－n＋1)＋×2＝n³

∴f(b_n) ＝()ⁿ?＝n()ⁿ，……………………………………………………9分

故S_n＝＋2()²＋3()³＋…＋(n－1)()ⁿ－¹＋n()ⁿ,

∴S_n＝ ()²＋2()³＋3()⁴＋…＋(n－1)()ⁿ＋n()^n＋1，

兩式相減得：

S_n＝＋()²＋()³＋…＋()ⁿ－n()^n＋1……………………………………10分

    ＝，

∴S_n＝2－(n+2)()ⁿ．………………………………………………………………12分

［命題意圖］考試說明對數(shù)列的理解、掌握級別要求：1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。2.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式。3.能利用等差、等比數(shù)列前n項和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和。所以等差數(shù)列，等比數(shù)列，及其體現(xiàn)的重要方法：倒序相加，錯位相減，裂項求和，疊加，累乘等，是常考查的重點。另外，數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與不等式，數(shù)列與數(shù)陣等的結(jié)合也是近幾年常考查的熱點。

［解題要點］求斜列二階等差數(shù)列1，3，5，7，……的通項公式，疊加，錯位相減等方法的靈活使用。

［試題來源］嘉興市2008～2009第一學期期末卷18題：

將全體正整數(shù)排成如下的三角形數(shù)陣：按照如圖的排列規(guī)律，

第n行（n>2）從左向右的第2個數(shù)為  n²-n+3  .

解析：設(shè)a₁=1,a₂=3,a₃=7,a₄=13,……,

       a₂-a₁=2   a₃-a₂=4   a₄-a₃=6 ……a_n-a_n-1=2n-2

 疊加得：a_n=n²-n+1  ,所以第n行（n>2）從左向右的第2個數(shù)為  n²-n+3   .