題目列表(包括答案和解析)
如下圖，過曲線C：y＝ex上一點P0(0，1)作曲線C的切線l0交x軸于點Q1(x1，0)，又過Q1作x軸的垂線交曲線C于點P1(x1，y1)，然后再過P1(x1，y1)作曲線C的切線l1交x軸于點Q2(x2，0)，又過Q2作x軸的垂線交曲線C于點P2(x2，y2)，…，以此類推，過點Pn的切線ln與x軸相交于點Qn+1(xn+1，0)，再過點Qn+1作x軸的垂線交曲線C于點Pn+1(xn+1，yn+1)(n∈N*)．
(1)求x1、x2及數列{xn}的通項公式；
(2)設曲線C與切線ln及直線Pn+1Qn+1所圍成的圖形面積為Sn，求Sn的表達式；(3)在滿足(2)的條件下，若數列{Sn}的前n項和為Tn，求證：
N*．
設滿足以下兩個條件的有窮數列a1，a2，…an為n(n＝2，3，4…)階“期待數列”：
①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0；
②|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝1．
(1)若等比數列{an}為2k(k∈N*)階“期待數列”，求公比q；
(2)若一個等差數列{an}既是2k(k∈N*)階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；
(3)記n階“期待數列”{ai}的前k項和為Sk(k＝1，2，3…，n)：
(ⅰ)求證：
；
(ⅱ)若存在m∈{1，2，3…n}使
，試問數列{Si}能否為n階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由．
設滿足以下兩個條件的有窮數列a1，a2，…an為n(n＝2，3，4…)階“期待數列”：
①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0；②|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝1．
(1)若等比數列{an}為2k(k∈N*)階“期待數列”，求公比q；
(2)若一個等差數列{an}既是2k(k∈N*)階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；
(3)記n階“期待數列”{ai}的前k項和為Sk(k＝1，2，3，…n)：
(ⅰ)求證：
；
(ⅱ)若存在m∈{1，2，3，…n}使
，試問數列{Si}能否為n階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由．
已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依題意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)設切點為(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切線過點A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．
∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2
畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范圍是(－6,2)．
設函數y＝f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x－2)＝－f(x)對一切xÎ R都成立，又當xÎ [－1，1]時，f(x)＝x3，則下列五個命題：
①函數y＝f(x)是以4為周期的周期函數；
②當xÎ [1，3]時，f(x)＝(x－2)3；
③直線x＝± 1是函數y＝f(x)圖象的對稱軸；
④點(2，0)是是函數y＝f(x)圖象的對稱中心；
其中正確的是________．(寫出所有正確命題的序號)
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