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18.(2009湖北卷理)(本小題滿分14分)(注意：在試題卷上作答無效)

過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。 　　　　　　

(Ⅰ)當時，求證：⊥；

(Ⅱ)記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

20題。本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力。(14分)

解：依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有21世紀教育網(wǎng)　 　

由消去x可得 　　　　　　　　　　

從而有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　①

于是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　②

又由，可得　　　　　　　　 　③

(Ⅰ)如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線

此時 ①可得

證法1：

　21世紀教育網(wǎng)　 　

證法2：

(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：

證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有

將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立 　　　　　　　　　

證法2：如圖2，連接,則由可得

,所以直線經(jīng)過原點O，

同理可證直線也經(jīng)過原點O

又設(shè)則

17.(2009天津卷文)(本小題滿分14分)

已知橢圓()的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點，且

(Ⅰ求橢圓的離心率

(Ⅱ)直線AB的斜率；

(Ⅲ)設(shè)點C與點A關(guān)于坐標原點對稱，直線上有一點H(m,n)()在的外接圓上，求的值。

[答案](1)(2)(3)

[解析] (1)解：由，得,從而

，整理得，故離心率

(2)解：由(1)知，，所以橢圓的方程可以寫為

設(shè)直線AB的方程為即

由已知設(shè)則它們的坐標滿足方程組 21世紀教育網(wǎng)　 　

消去y整理，得

依題意，

而，有題設(shè)知，點B為線段AE的中點，所以

聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達定理中解得

(3)由(2)知，，當時，得A由已知得

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為

直線的方程為，于是點滿足方程組由，解得，故

當時，同理可得

[考點定位]本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程，圓的方程等基礎(chǔ)知識。考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算能力和推理能力。

16.(2009江西卷理)(本小題滿分12分)

已知點為雙曲線(為正常數(shù))上任一點,為雙曲線的右焦點,過作右準線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于. 21世紀教育網(wǎng)　 　　　　

(1)　　 求線段的中點的軌跡的方程;

(2)　　 設(shè)軌跡與軸交于兩點,在上任取一點,直線分別交軸于兩點.求證:以為直徑的圓過兩定點.

解： (1) 由已知得,則直線的方程為:,

　 令得,即,

設(shè),則,即代入得:,

即的軌跡的方程為. 21世紀教育網(wǎng)　 　　　　

(2) 在中令得,則不妨設(shè),

于是直線的方程為:,直線的方程為:,

則,

則以為直徑的圓的方程為: ,

令得:,而在上,則,

于是,即以為直徑的圓過兩定點.

15.(2009江西卷文)(本小題滿分14分)

如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接△的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點.　　　　　　

(1)求圓的半徑;

(2)過點作圓的兩條切線交橢圓于兩點，

解: (1)設(shè)，過圓心作于,交長軸于

由得,

即　　 　　　　　　　(1)　　　　　　

而點在橢圓上,　　　 (2)

由(1)、 (2)式得,解得或(舍去)

(2) 設(shè)過點與圓相切的直線方程為:　　　　　　 (3)

則,即　　　　　　 (4)

解得

將(3)代入得,則異于零的解為

設(shè),，則

則直線的斜率為：

于是直線的方程為:　

即

則圓心到直線的距離 　　　　　　21世紀教育網(wǎng)　 　

故結(jié)論成立.

14.(2009安徽卷文)(本小題滿分12分)

已知橢圓(a＞b＞0)的離心率為，以原點為圓心。橢圓短半軸長半徑的

圓與直線y=x+2相切，

(Ⅰ)求a與b；21世紀教育網(wǎng)　 　　　

(Ⅱ)設(shè)該橢圓的左，右焦點分別為和，直線過且與x軸垂直，動直線與y軸垂直，交與點p..求線段P垂直平分線與的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型。

[思路](1)由橢圓建立a、b等量關(guān)系，再根據(jù)直線與橢圓相切求出a、b.

(2)依據(jù)幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程可求得，這之中的消參就很重要了。

[解析](1)由于　 ∴　 ∴　 又　 ∴b²=2,a²=3因此，. 21世紀教育網(wǎng)　 　　　

(2)由(1)知F₁，F(xiàn)₂兩點分別為(-1，0)，(1,0)，由題意可設(shè)P(1，t).(t≠0).那么線段PF₁中點為，設(shè)M(x、y)是所求軌跡上的任意點.由于則消去參數(shù)t得

,其軌跡為拋物線(除原點)

13.(2009安徽卷理)(本小題滿分13分)21世紀教育網(wǎng)　 　

點在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標原點，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.

(I)證明: 點是橢圓與直線的唯一交點； 　　　　

(II)證明:構(gòu)成等比數(shù)列.

解：本小題主要考查直線和橢圓的標準方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識。考查綜合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。

解：(I)(方法一)由得代入橢圓,

得.

將代入上式,得從而

因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點P. 　　　　　

(方法二)顯然P是橢圓與的交點，若Q是橢圓與的交點，代入的方程，得

即故P與Q重合。

(方法三)在第一象限內(nèi)，由可得

橢圓在點P處的切線斜率

切線方程為即。

因此，就是橢圓在點P處的切線。21世紀教育網(wǎng)　 　

根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點。

(II)的斜率為的斜率為

由此得構(gòu)成等比數(shù)列。

12.(2009廣東卷理)(本小題滿分14分)

已知曲線與直線交于兩點和，且．記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為．設(shè)點是上的任一點，且點與點和點均不重合．

(1)若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程； 　　　　　　

(2)若曲線與有公共點，試求的最小值．

解：(1)聯(lián)立與得，則中點，設(shè)線段的中點坐標為，則，即，又點在曲線上，

∴化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，∴中點的軌跡方程為().

　21世紀教育網(wǎng)　 　

(2)曲線，

即圓：，其圓心坐標為，半徑

由圖可知，當時，曲線與點有公共點；

當時，要使曲線與點有公共點，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.

11.(2009全國卷Ⅱ文)(本小題滿分12分)

已知橢圓C:　　　　　　　　　　 的離心率為　　　 ，過右焦點F的直線l與C相交于A、B

(Ⅰ)求a,b的值；

(Ⅱ)C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？

若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由。

解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計算，第二問利用向量坐標關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題，注意特殊情況的處理。

解：(Ⅰ)設(shè) 當的斜率為1時，其方程為到的距離為

　 故　 ， 　21世紀教育網(wǎng)　 　

　　　 由

　　　 得 ，=

(Ⅱ)C上存在點，使得當繞轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立。

由 (Ⅰ)知C的方程為+=6. 設(shè)

　(ⅰ)

　C 成立的充要條件是， 且

整理得

故　　　 　　　　　　①

將

　21世紀教育網(wǎng)　 　

于是 , =,

　　 代入①解得，，此時

　　 于是=， 即 21世紀教育網(wǎng)　 　

　　 因此， 當時，， ；

　當時，， 。

(ⅱ)當垂直于軸時，由知，C上不存在點P使成立。

綜上，C上存在點使成立，此時的方程為

.

10.(2009江蘇卷)(本小題滿分16分)

在平面直角坐標系中，已知圓和圓.

(1)若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；

(2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標。

[解析] 本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，考查數(shù)學運算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。

(1)設(shè)直線的方程為：，即

由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，

結(jié)合點到直線距離公式，得： 　　　

化簡得：

求直線的方程為：或，即或

(2) 設(shè)點P坐標為，直線、的方程分別為：21世紀教育網(wǎng)　 　

，即：

因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：：圓心到直線與直線的距離相等。 　　

故有：，

化簡得：

關(guān)于的方程有無窮多解，有： 　　　21世紀教育網(wǎng)　 　

解之得：點P坐標為或。

9. (2009山東卷文)(本小題滿分14分)

設(shè),在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; 21世紀教育網(wǎng)　 　

(2)已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;

(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁,且與軌跡E只有一個公共點B₁,當R為何值時,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解:(1)因為,,,

所以,　　 即. 21世紀教育網(wǎng)　 　

當m=0時,方程表示兩直線,方程為;

當時, 方程表示的是圓

當且時,方程表示的是橢圓;

當時,方程表示的是雙曲線.

(2).當時, 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,

要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,

則使△=,

即,即,　　 且

,

要使, 　需使,即,

所以,　 即且,　 即恒成立.

所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,

所以圓的半徑為,, 所求的圓為.

當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.

綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.

(3)當時,軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因為直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁, 由(2)知,　 即　　 ①,

因為與軌跡E只有一個公共點B₁,

由(2)知得,

即有唯一解

則△=, 　　即,　　 ②

由①②得,　 此時A,B重合為B₁(x₁,y₁)點, 21世紀教育網(wǎng)　 　

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)點在橢圓上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因為當且僅當時取等號,所以,即

當時|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.

[命題立意]:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.