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8.(2009山東卷理)(本小題滿分14分)

設橢圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N(,1)兩點，O為坐標原點，

(I)求橢圓E的方程；

(II)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

解:(1)因為橢圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N(,1)兩點,

所以解得所以橢圓E的方程為

(2)假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即, 21世紀教育網　 　

則△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.

因為,

所以,

,　

①當時

因為所以,

所以,

所以當且僅當時取”=”. 21世紀教育網　 　

②　　 當時,.

③　　 當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,

綜上, |AB |的取值范圍為即:

[命題立意]:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數問題以及方程的根與系數關系.

7.(2009江蘇卷)(本題滿分10分)

在平面直角坐標系中，拋物線C的頂點在原點，經過點A(2，2)，其焦點F在軸上。

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；

(3)設過點的直線交拋物線C于D、E兩點，ME=2DM，記D和E兩點間的距離為，求關于的表達式。

[解析] [必做題]本小題主要考查直線、拋物線及兩點間的距離公式等基本知識，考查運算求解能力。滿分10分。

6.(2009北京理)(本小題共14分)

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)設直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交

于不同的兩點，證明的大小為定值.

[解法1]本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程

的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．

(Ⅰ)由題意，得，解得，

　　　　　　　 ∴，∴所求雙曲線的方程為.

(Ⅱ)點在圓上，

圓在點處的切線方程為，

化簡得.

由及得，

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，

∴，且，

設A、B兩點的坐標分別為，

則，

∵，且

，

.

∴ 的大小為.

[解法2](Ⅰ)同解法1.

(Ⅱ)點在圓上，

圓在點處的切線方程為，

化簡得.由及得

　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　 ②

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，

∴，設A、B兩點的坐標分別為，

則，

∴，∴ 的大小為.

(∵且，∴，從而當時，方程①和方程②的判別式均大于零).

5.(2009北京文)(本小題共14分)21世紀教育網　 　

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為。

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求m的值.　

[解析]本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程

的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．

(Ⅰ)由題意，得，解得，

　　　　　　　 ∴，∴所求雙曲線的方程為.

(Ⅱ)設A、B兩點的坐標分別為，線段AB的中點為，

　　　 由得(判別式),

　　 ∴,

∵點在圓上，

∴，∴.

4.(2009浙江文)(本題滿分15分)已知拋物線：上一點到其焦點的距離為．

　 (I)求與的值；

　 (II)設拋物線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點．若是的切線，求的最小值．

解析(Ⅰ)由拋物線方程得其準線方程：，根據拋物線定義

點到焦點的距離等于它到準線的距離，即，解得

拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得

(Ⅱ)由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設其為。

則，當　 則。

聯立方程，整理得：

即：，解得或

，而，直線斜率為 21世紀教育網　 　

，聯立方程

整理得：，即：

　，解得：，或

，

而拋物線在點N處切線斜率：

MN是拋物線的切線，， 整理得

，解得(舍去)，或，

3.(2009浙江理)(本題滿分15分)已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為．

　 (I)求橢圓的方程；

　 (II)設點在拋物線：上，在點處

的切線與交于點．當線段的中點與的中

點的橫坐標相等時，求的最小值．

解析：(I)由題意得所求的橢圓方程為，21世紀教育網　 　

(II)不妨設則拋物線在點P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因為直線MN與橢圓有兩個不同的交點，所以有，

設線段MN的中點的橫坐標是，則，21世紀教育網　 　

設線段PA的中點的橫坐標是，則，由題意得，即有，其中的或；

當時有，因此不等式不成立；因此，當時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．

2.(2009全國卷Ⅰ理)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

　如圖，已知拋物線與圓相交于、、、四個點。

　(I)求得取值范圍；

　(II)當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點坐標

分析：(I)這一問學生易下手。將拋物線與圓的方程聯立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．(＊)

拋物線與圓相交于、、、四個點的充要條件是：方程(＊)有兩個不相等的正根即可.易得.考生利用數形結合及函數和方程的思想來處理也可以．

(II)考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個較好的切入點．

　 設四個交點的坐標分別為、、、。

則由(I)根據韋達定理有，

則

令，則　　 下面求的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數或常數，但要注意取等號的條件，這和二次均值類似。

　　 當且僅當，即時取最大值。經檢驗此時滿足題意。

方法二：利用求導處理，這是命題人的意圖。具體解法略。

下面來處理點的坐標。設點的坐標為：

由三點共線，則得。

以下略。

1.(2009年廣東卷文)(本小題滿分14分)

已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓G上一點到和的距離之和為12.圓:的圓心為點.

(1)求橢圓G的方程

(2)求的面積

(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請說明理由.

[解析](1)設橢圓G的方程為：　 ()半焦距為c;

　　　　 則 , 解得 ,

　　 所求橢圓G的方程為：. 21世紀教育網　 　　　　　

(2 )點的坐標為

(3)若，由可知點(6，0)在圓外，

　　 若，由可知點(-6，0)在圓外；

　　 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.

23.(2009上海卷文)已知是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的一點，且。若的面積為9，則　　　　　　 . 　　　

[答案]3

[解析]依題意，有，可得4c²+36＝4a²，即a²－c²＝9，故有b＝3。

22.(2009年上海卷理)已知、是橢圓(＞＞0)的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=____________. 　　　　　　　

[答案]3

[解析]依題意，有，可得4c²+36＝4a²，即a²－c²＝9，故有b＝3。