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7．(2010年寧波調研)已知圓C：x²+y²+bx+ay－3＝0(a、b為正實數)上任意一點關于直線l：x+y+2＝0的對稱點都在圓C上，則+的最小值為________．

解析：由題意，知圓心在直線上，所以－+(－)+2＝0，

∴+＝1，則(+)(+)＝1++≥1+2　 ＝1+.

6．(2009年高考全國卷Ⅱ)已知AC、BD為圓O：x²+y²＝4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形ABCD的面積的最大值為________．

解析：設圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則d₁²+d₂²＝OM²＝3.

四邊形ABCD的面積S＝|AB|·|CD|＝2≤8－(d₁²+d₂²)＝5.

5．若集合A＝{(x，y)|y＝1+}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)+4}．當集合A∩B有4個子集時，實數k的取值范圍是________________．

解析：A∩B有4個子集，即A∩B有2個元素，∴半圓x²+(y－1)²＝4(y≥1)與過P(2,4)點，斜率為k的直線有兩個交點，如圖：A(－2,1)，k_PA＝，過P與半圓相切時，k＝，∴<k≤.

答案：＜k≤

4．過點A(11,2)作圓x²+y²+2x－4y－164＝0的弦，其中弦長為整數的共有__條．

解析：方程化為(x+1)²+(y－2)²＝13²，圓心為(－1,2)，到點A(11,2)的距離為12，最短弦長為10，最長弦長為26，所以所求直線條數為2+2×(25－10)＝32(條)．答案：32

3．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a與b的夾角為60°，直線xcosα+ysinα＝0與圓(x+cosβ)²+(y+sinβ)²＝的位置關系是________．

解析：cos60°＝cosα·cosβ+sinα·sinβ＝cos(α－β)，

d＝＝|cos(α－β)|＝>＝r.答案：相離

2．(2010年秦州質檢)已知直線y＝－x與圓x²+y²＝2相交于A、B兩點，P是優弧AB上任意一點，則∠APB＝____________.

解析：弦心距長為，半徑為，所以弦AB所對的圓心角為，又因為同弦所對的圓周角是圓心角的一半，所以∠APB＝.答案：

1．直線ax+by+b－a＝0與圓x²+y²－x－3＝0的位置關系是________．

解析：直線方程化為a(x－1)+b(y+1)＝0，過定點(1，－1)，代入圓的方程，左側小于0，則定點在圓內，所以直線與圓總相交．答案：相交

6．(2010年南京調研)已知：以點C(t，)(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．

(1)求證：△OAB的面積為定值；

(2)設直線y＝－2x+4與圓C交于點M，N，若OM＝ON，求圓C的方程．

解：(1)證明：∵圓C過原點O，∴OC²＝t²+.設圓C的方程是(x－t)²+(y－)²＝t²+，令x＝0，得y₁＝0，y₂＝；令y＝0，得x₁＝0，x₂＝2t.

∴S_△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面積為定值．

(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分線段MN.∵k_MN＝－2，∴k_{O C}＝，

∴直線OC的方程是y＝x.∴＝t，解得：t＝2或t＝－2.

當t＝2時，圓心C的坐標為(2,1)，OC＝，此時圓心C到直線y＝－2x+4的距離d＝<，圓C與直線y＝－2x+4相交于兩點．

當t＝－2時，圓心C的坐標為(－2，－1)，OC＝，此時圓心C到直線y＝－2x+4的距離d＝>，圓C與直線y＝－2x+4不相交，

∴t＝－2不符合題意舍去．∴圓C的方程為(x－2)²+(y－1)²＝5.

B組

5．(原創題)已知直線x－y+2^m＝0與圓x²+y²＝n²相切，其中m，n∈N^*，且n－m<5，則滿足條件的有序實數對(m，n)共有________個．

解析：由題意可得，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即2^m－1＝n，所以

2^m－1－m<5，因為m，n∈N^*，所以，，，，故有序實數對(m，n)共有4個．答案：4個

4．若直線3x+4y+m＝0與圓x²+y²－2x+4y+4＝0沒有公共點，則實數m的取值范圍是________．

解析：將圓x²+y²－2x+4y+4＝0化為標準方程，得(x－1)²+(y+2)²＝1，圓心為(1，－2)，半徑為1.

若直線與圓無公共點，即圓心到直線的距離大于半徑，

即d＝＝>1，∴m<0或m>10.

答案：(－∞，0)∪(10，+∞)