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5．如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，。

(1)試確定，使直線與平面所成角的正切值為；

(2)在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于，并證明你的結論。

解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m)，C(0,1,0),D(0,0,0),B₁(1,1,1),D₁(0,0,1)．

所以

又由的一個法向量．

設與所成的角為，

則

依題意有：，解得．

故當時，直線。

(2)若在上存在這樣的點，設此點的橫坐標為，

則。

依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。

等價于

即為的中點時，滿足題設的要求．

4．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點．

(1)證明AD⊥D₁F；

(2)求AE與D₁F所成的角；

(3)證明面AED⊥面A₁D₁F．

解：取D為原點，DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，取正方體棱長為2，則A(2，0，0)、A₁(2，0，2)、

D₁(0，0，2)、E(2，2，1)、F(0，1，0)．

(1)∵· =(2，0，0)·(0，1,－2)=0，∴AD⊥D₁F．

(2)∵·=(0，2，1)·(0，1，－2)=0，∴AE⊥D₁F，即AE與D₁F成90°角．

(3)∵·=(2，2，1)·(0，1，－2)=0，∴DE⊥D₁F．∵AE⊥D₁F，

∴D₁F⊥面AED．∵D₁F面A₁D₁F，∴面AED⊥面A₁D₁F．

3．如圖，直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點．

(1)求的長；　

(2)求cos〈，〉的值；

(3)求證：A₁B⊥C₁M．

(1)解：依題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，

∴｜｜==．

(2)解：A₁(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B₁(0，1，2)，

∴=(1，－1，2)，=(0，1，2)，·=3，｜｜=，｜｜=．

∴cos〈，〉==．

(3)證明：C₁(0，0，2)，M(，，2)，=(－1，1，－2)，=(，，0)，∴·=0，∴A₁B⊥C₁M．

2．在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，各棱長都為a，D是BC中點,則向量和的夾角為_____,異面直線A₁D和AB₁的夾角為______。

解： cos <，> = -∴<,>=π－arccos

異面直線和的夾角為φ，則φ= arccos

1．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為A₁B₁和BB₁的中點，那么直線AM與CN所成的角為　　　　　 (　 D　 )

A．arccos　　　 　　 B．arccos

C．arccos 　　　 　　　　　　　 D．arccos

解：建立如圖所示坐標系，把D點視作原點O，分別沿、、方向為x軸、y軸、z軸的正方向，則α=arccos．

8．△ABC為邊長等于a的正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2CD，F是BE的中點。

(1)求證：DF//平面ABC；

(2)求證：AF⊥BD。

證：(1)=(+)=(++++)

=(2+++)=(+++)

=(+)=。∴ DFCM，從而DF//平面ABC。

(2)=(+)，=－。

·=(+)·(－)=(－·+·)

=(－·+·)=(－|| ||cos60°+|| ||)

=(－a²+a²)=0。∴ AF⊥BD。

考查運用空間向量的基本知識判斷空間的線線、線面位置關系．要求掌握用坐標法或基底法證明空間線面平行、垂直,掌握用空間向量解立體幾何問題的一般程序:把已知條件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，將幾何的位置關系的證明問題或數量關系的運算問題轉化為典型的向量運算，以算代證，以值定形．

7．若OA，OB，OC兩兩互相垂直，求證△ABC為銳角三角形。

證明：OA，OB，OC兩兩互相垂直。

因·=(－)·(－)=·=||²＞0，

∴ <·>為銳角，即∠BAC為銳角，

同理∠ABC，∠BCA均為銳角，∴△ABC為銳角三角形。

6．如圖，已知矩形和矩形垂直，以為公共邊，但它們不在同一平面上．點M、N分別在對角線BD、AE上，且｜BM｜＝｜BD｜，｜AN｜＝｜AE｜．證明：MN∥平面CDE．

解：如圖，＝++．

由已知，＝，又因為＝+，

所以　 ＝+．

由已知，＝，又因為＝+，

所以　 ＝+．所以　 ＝++++，

又　 ＝－，＝－，所以　 ＝－，即有MN∥平面CDE．

5．已知空間三點A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)：

(1)求以向量、為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

(2)若向量分別與向量、垂直，且||=，求向量a的坐標。

(1)=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)，

則cos∠BAC==，∴∠BAC=，∴ S=||·||·sin=7

(2)設 =(x，y，z)，則⊥ 　-2x－y+3z= 0　　　　　　　　 ①

⊥ 　x－3y+2z= 0　　 ②　　 ||= 　x²+y²+z²=3　　　　　 ③

由式①、②、③解得，x=y=z=1 或 x=y=z=-1．

∴ =(1，1，1)或=(-1，-1，-1)

4．已知=(2，2，1)，=(4，5，3)，求平面ABC的單位法向量．

解：單位法向量n ₀=±=±(，－，)．