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12.已知函數f(x)=,g(x)=. 

(1)證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x)的單調區間; 

(2)分別計算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函數f(x)和g(x)的對所有

不等于零的實數x都成立的一個等式,并加以證明. 

(1)證明  f(-x)==-f(x),

設x1>x2>0,由于y=x在R上遞增,∴x>x.又(x1x2)->0, 

∴f(x1)-f(x2)=(x-x1-x2+ )=>0. 

即f(x)在(0,+∞)上遞增. 

同理f(x)在(-∞,0)上也遞增. 

故f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調遞增. 

(2)解  f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0, 

且f(x2)-5f(x)g(x)=0. 

證明如下:

f(x2)-5f(x)g(x)=

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11.指出函數f(x)=的單調區間,并比較f(-π)與f(-的大小. 

解 ∵f(x)==1+=1+(x+2)-2,其圖象可由冪函數y=x-2向左平移2個單位,再向上平移1個單位,該函數在(-2,+∞)上是減函數,在(-∞,-2)上是增函數,且其圖象關于直線x=-2對稱(如圖).

又∵-2-(-π)=π-2<--(-2)=2-, 

∴f(-π)>f(-).

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10.已知f(x)=(n=2k,k∈Z)的圖象在[0,+∞)上單調遞增,解不等式f(x2-x)>f(x+3). 

解  由條件知>0, 

-n2+2n+3>0,解得-1<n<3. 

又n=2k,k∈Z,∴n=0,2. 

當n=0,2時,f(x)=x.∴f(x)在R上單調遞增. 

∴f(x2-x)>f(x+3)轉化為x2-x>x+3. 

解得x<-1或x>3. 

∴原不等式的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞).

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9.求函數y=(m∈N)的定義域、值域,并判斷其單調性. 

解 ∵m2+m+1=m(m+1)+1必為奇數, 

且m2+m+1=(m+)2+>0,

∴函數的定義域為R, 

類比y=x3的圖象可知,所求函數的值域為R, 

在(-∞,+∞)上所求函數是單調遞增函數.

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8.給出封閉函數的定義:若對于定義域D內的任意一個自變量x0,都有函數值f(x0)∈D,則稱函數y=f(x)在D上封閉.若定義域D=(0,1),則函數①f1(x)=3x-1;?②f2(x)=- -x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,其中在D上封閉的是       .(填序號即可) 

答案  ②③④ 

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7.當0<x<1時,f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x-2,則f(x),g(x),h(x)的大小關系是      .

答案  h(x)>g(x)>f(x)

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6.設f(x)=x3+x,則對任意實數a,b,“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的     條件.

  答案  充分必要

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5.(2008·山東文)設函數f(x)=則f(的值為     .

答案 

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4.如圖所示,曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2、±四個值,則相應的曲線C1,C2,C3,C4的n值依次為      .                                     

答案  2,,-,-2

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3.如果冪函數y=(m2-3m+3)x的圖象不過原點,則m的取值是    .

  答案  1或2

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