12.已知函數f(x)=,g(x)=
.
(1)證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x)的單調區間;
(2)分別計算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函數f(x)和g(x)的對所有
不等于零的實數x都成立的一個等式,并加以證明.
(1)證明 f(-x)==-f(x),
設x1>x2>0,由于y=x在R上遞增,∴x
>x
.又(x1x2)-
>0,
∴f(x1)-f(x2)=(x
-x1
-x2
+
)=
>0.
即f(x)在(0,+∞)上遞增.
同理f(x)在(-∞,0)上也遞增.
故f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調遞增.
(2)解 f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,
且f(x2)-5f(x)g(x)=0.
證明如下:
f(x2)-5f(x)g(x)=
11.指出函數f(x)=的單調區間,并比較f(-π)與f(-
的大小.
解 ∵f(x)=
=1+
=1+(x+2)-2,其圖象可由冪函數y=x-2向左平移2個單位,再向上平移1個單位,該函數在(-2,+∞)上是減函數,在(-∞,-2)上是增函數,且其圖象關于直線x=-2對稱(如圖).
又∵-2-(-π)=π-2<--(-2)=2-
,
∴f(-π)>f(-).
10.已知f(x)=(n=2k,k∈Z)的圖象在[0,+∞)上單調遞增,解不等式f(x2-x)>f(x+3).
解 由條件知>0,
-n2+2n+3>0,解得-1<n<3.
又n=2k,k∈Z,∴n=0,2.
當n=0,2時,f(x)=x.∴f(x)在R上單調遞增.
∴f(x2-x)>f(x+3)轉化為x2-x>x+3.
解得x<-1或x>3.
∴原不等式的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞).
9.求函數y=(m∈N)的定義域、值域,并判斷其單調性.
解 ∵m2+m+1=m(m+1)+1必為奇數,
且m2+m+1=(m+)2+
>0,
∴函數的定義域為R,
類比y=x3的圖象可知,所求函數的值域為R,
在(-∞,+∞)上所求函數是單調遞增函數.
8.給出封閉函數的定義:若對于定義域D內的任意一個自變量x0,都有函數值f(x0)∈D,則稱函數y=f(x)在D上封閉.若定義域D=(0,1),則函數①f1(x)=3x-1;?②f2(x)=- -
x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x
,其中在D上封閉的是
.(填序號即可)
答案 ②③④
7.當0<x<1時,f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x-2,則f(x),g(x),h(x)的大小關系是 .
答案 h(x)>g(x)>f(x)
6.設f(x)=x3+x,則對任意實數a,b,“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 條件.
答案 充分必要
5.(2008·山東文)設函數f(x)=則f(
的值為 .
答案
4.如圖所示,曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2、±
四個值,則相應的曲線C1,C2,C3,C4的n值依次為
.
答案 2,,-
,-2
3.如果冪函數y=(m2-3m+3)x的圖象不過原點,則m的取值是 .
答案 1或2
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