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       分段函數的反函數的求法及含有字母的函數的問題

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2. 已知函數=1+有反函數,且點(a,b)在函數的圖象上,又在其反函數的圖象上,求a,b的值.

解:∵點(a,b)在函數的圖象上,∴b=1+---①,

又點(a,b)在其反函數的圖象上,

∴點(b,a)在原函數的圖象上,

∴有a=1+---②,聯立①②解得a=b=2.

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1.求函數y=的反函數.

解:當x≥0時,y≥1,由y=x2+1得x= ( y≥1);當x<0時,y<1,由y=x+1得x=y-1(y<1). 將x,y對換得y==.

說明:求分段函數的反函數,應分別求出各段的反函數,再合成.

的值域而得反函數的定義域,這一點絕不能混淆.

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例1 求函數y=(x≥0,x≠1)的反函數.

解:⑴由原函數變形為y-y=1+,即=(y-1)/(y+1)--①,

≥0,∴(y-1)/(y+1)≥0,解得y<-1或y≥1,

⑵由①兩邊平方得x=[(y-1)/(y+1)],

⑶∴原函數的反函數是= [(x-1)/(x+1)](x<-1或x≥1);

說明:原函數的值域是借助于變形中的①式:≥0而得到的,對于一個比較復雜的函數,求它的值域時要注意題目中的現有條件.

例2 設函數y==,求它的反函數.

分析:這里給出了分段函數,即在不同的x范圍內有不同的表達式,因此,也應在不同的x范圍內求其反函數.

解:⑴當x<0時,y=x,其反函數仍是y=x(x<0);

⑵當x≥0時,y=,由y= (x≥0)得x=,又y= (x≥0)的值域為y≥0,∴y= (x≥0)的反函數是y=(x≥0).

⑶由⑴⑵可得=.

例3 已知函數的反函數是(x∈R,x≠2),求a,b,c的值.

解:⑴由(x≠2)解出x=

∵原函數的值域是y≠3,

(x≠2)的反函數是(x≠3,x∈R).

⑵由互為反函數的函數關系知,是同一函數,∴a=2,b=1,c=-3.

例4 若點A(1,2)既在函數=的圖象上,又在的反函數的圖象上,求a,b的值.

分析:求a,b,就要有兩個關于a,b的方程,如何尋求?

①A(1,2)在圖象上,這是很容易看出來的.

②如何用它也在的反函數的圖象上呢?

其一,真求反函數,再把A(1,2)代入. 能不能不求反函數?

其二,A(1,2)在反函數圖象上,則(2,1)就應在原函數的圖象上,即(a,b)滿足y=,則(b,a)應滿足y=,反之亦然.

解:由A(1,2)在=上,則有--①;

由A(1,2)在其反函數圖象上,可知(2,1)也在函數=圖象上,∴又有--②,

解聯立①②的方程組得a=-3,b=7.

例5.若,試求反函數

分析:當已知函數是一個復合函數時,要求它的反函數,首先要求原來函數解析表達式.

解:令,則

代入所給表達式,得+2=

,∴,即原來函數是

易求函數的反函數是

注:在利用換元解題時,一定要注意新元(中間變量)的取值范圍.

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2.函數間的關系:

互為反函數;

為同一函數

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1.反函數的定義;求反函數的一般步驟分:一解、二換、三注明

互為反函數的兩個函數有什么關系:

函數的圖象關于直線對稱.

反函數的定義域由原函數的值域得到,而不能由反函數的解析式得到

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29.下圖所示為世界地圖上的一段經線。MP、QN為陸地,PQ為海洋。(12分)

(1) 該剖面MN的水平距離約是:              (   )(2分)

A.2000千米 B.2500千米 C.2775千米 D.3000千米

(2) 該剖面MN段自北向南依次經過的大陸、海洋是:

MP為___________大陸;PQ為____________海洋;QN為_____________大陸。(3分)

(3)當Q地為雨季時,下列地區同為雨季的是:         (  )(2分)

A.北京     B.開普敦        C.舊金山         D.孟買

(4) N地所在大洲的地形特點和氣候特點分別是:(5分)

地形特點是

氣候特點是

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28.讀右圖,回答下列問題:(13分)

⑴A圖所示國家的主要氣候類型是____________。(1分)

⑵B圖所示國家的主要氣候類型包括(按自上而下順序)______________、_______________和______________,其中該國緯度400-600沿海地區的氣候主要分布在西部沿海狹長地帶,原因是

____                    _____  。(5分)

  ⑶A圖、B圖所示都是狹長型的臨海國家,導致兩國氣候差異的主要因素有:(3分)

⑷當P1地盛行西南風時,P2地的氣候特點是           ,流經P2地的主要洋流是____________________。(4分)

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26、下圖中的甲、乙兩國都是太平洋的島國,甲國面積約38萬平方千米,乙國面積約27萬平方千米,回答下列問題。(14分)

                           

⑴圖中甲、乙兩國,比例尺較大的是      。(2分)

⑵請比較圖中甲、乙兩國年降水量分布特點及其形成原因。(6分)

國家
年降水量分布特點
形成的主要原因

東南部降水豐富
 
 
 
 
 
 
 

南島:
 
 
 
 
 
 
 

⑶甲國的工業主要分布在太平洋沿岸的狹長地帶,請分析其主要原因。(3分)

⑷乙國農業地域類型主要為大牧場放牧業,請分析其優勢區位條件。(3分)

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