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　　　　　　 分段函數的反函數的求法及含有字母的函數的問題

2． 已知函數=1+有反函數，且點(a,b)在函數的圖象上，又在其反函數的圖象上，求a,b的值.

解：∵點(a,b)在函數的圖象上，∴b=1+---①,

又點(a,b)在其反函數的圖象上，

∴點(b,a)在原函數的圖象上，

∴有a=1+---②，聯立①②解得a=b=2.

1．求函數y=的反函數.

解：當x≥0時，y≥1，由y=x2+1得x= ( y≥1)；當x<0時，y<1，由y=x+1得x=y-1(y<1). 將x,y對換得y==.

說明：求分段函數的反函數，應分別求出各段的反函數，再合成.

的值域而得反函數的定義域，這一點絕不能混淆.

例1 求函數y=(x≥0，x≠1)的反函數.

解：⑴由原函數變形為y-y=1+，即=(y-1)/(y+1)--①,

∵≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y<-1或y≥1,

⑵由①兩邊平方得x=[(y-1)/(y+1)],

⑶∴原函數的反函數是= [(x-1)/(x+1)](x<-1或x≥1)；

說明：原函數的值域是借助于變形中的①式：≥0而得到的，對于一個比較復雜的函數，求它的值域時要注意題目中的現有條件.

例2 設函數y==，求它的反函數.

分析：這里給出了分段函數，即在不同的x范圍內有不同的表達式，因此，也應在不同的x范圍內求其反函數.

解：⑴當x<0時，y=x,其反函數仍是y=x(x<0);

⑵當x≥0時，y=，由y= (x≥0)得x=,又y= (x≥0)的值域為y≥0，∴y= (x≥0)的反函數是y=(x≥0).

⑶由⑴⑵可得=.

例3 已知函數的反函數是(x∈R,x≠2)，求a,b,c的值.

解：⑴由(x≠2)解出x=，

∵原函數的值域是y≠3,

∴(x≠2)的反函數是(x≠3,x∈R).

⑵由互為反函數的函數關系知，與是同一函數，∴a=2,b=1,c=-3.

例4 若點A(1,2)既在函數=的圖象上，又在的反函數的圖象上，求a,b的值.

分析：求a,b，就要有兩個關于a,b的方程，如何尋求？

①A(1,2)在圖象上，這是很容易看出來的.

②如何用它也在的反函數的圖象上呢？

其一，真求反函數，再把A(1,2)代入. 能不能不求反函數？

其二，A(1,2)在反函數圖象上，則(2,1)就應在原函數的圖象上，即(a,b)滿足y=，則(b,a)應滿足y=，反之亦然.

解：由A(1,2)在=上，則有--①；

由A(1,2)在其反函數圖象上，可知(2,1)也在函數=圖象上，∴又有--②，

解聯立①②的方程組得a=-3,b=7.

例5．若，試求反函數．

分析：當已知函數是一個復合函數時，要求它的反函數，首先要求原來函數解析表達式．

解：令，則，，

代入所給表達式，得+2=，

，∴，即原來函數是．

易求函數的反函數是

．

注：在利用換元解題時，一定要注意新元(中間變量)的取值范圍．

2．函數、、、間的關系：

與、與互為反函數；

與、與為同一函數

1．反函數的定義；求反函數的一般步驟分：一解、二換、三注明

互為反函數的兩個函數有什么關系：

函數與的圖象關于直線對稱.

反函數的定義域由原函數的值域得到，而不能由反函數的解析式得到

29.下圖所示為世界地圖上的一段經線。MP、QN為陸地，PQ為海洋。(12分)

(1) 該剖面MN的水平距離約是：　　　　　　　 　　　　　　(　　 )(2分)

A．2000千米 B．2500千米 C．2775千米 D．3000千米

(2) 該剖面MN段自北向南依次經過的大陸、海洋是：

MP為___________大陸；PQ為____________海洋；QN為_____________大陸。(3分)

(3)當Q地為雨季時，下列地區同為雨季的是：　　　　　　　　 (　　)(2分)

A．北京 　　　 B．開普敦　　　 　　　 C．舊金山　　　 　　 　 D．孟買

(4) N地所在大洲的地形特點和氣候特點分別是：(5分)

地形特點是

氣候特點是

28.讀右圖，回答下列問題：(13分)

⑴A圖所示國家的主要氣候類型是____________。(1分)

⑵B圖所示國家的主要氣候類型包括(按自上而下順序)______________、_______________和______________，其中該國緯度400-600沿海地區的氣候主要分布在西部沿海狹長地帶，原因是

____　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 _____　 。(5分)

　 ⑶A圖、B圖所示都是狹長型的臨海國家，導致兩國氣候差異的主要因素有：(3分)

⑷當P1地盛行西南風時，P2地的氣候特點是　　　　　　　　　　 ，流經P2地的主要洋流是____________________。(4分)

26、下圖中的甲、乙兩國都是太平洋的島國，甲國面積約38萬平方千米，乙國面積約27萬平方千米，回答下列問題。(14分)

⑴圖中甲、乙兩國，比例尺較大的是　　　　　 。(2分)

⑵請比較圖中甲、乙兩國年降水量分布特點及其形成原因。(6分)

⑶甲國的工業主要分布在太平洋沿岸的狹長地帶，請分析其主要原因。(3分)

⑷乙國農業地域類型主要為大牧場放牧業，請分析其優勢區位條件。(3分)