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例1 求函數y=的反函數. 解:⑴由原函數變形為y-y=1+.即=--①, ∵≥0.∴≥0.解得y<-1或y≥1, ⑵由①兩邊平方得x=[], ⑶∴原函數的反函數是= [], 說明:原函數的值域是借助于變形中的①式:≥0而得到的.對于一個比較復雜的函數.求它的值域時要注意題目中的現有條件. 例2 設函數y==.求它的反函數. 分析:這里給出了分段函數.即在不同的x范圍內有不同的表達式.因此.也應在不同的x范圍內求其反函數. 解:⑴當x<0時.y=x,其反函數仍是y=x; ⑵當x≥0時.y=.由y= 得x=,又y= 的值域為y≥0.∴y= 的反函數是y=. ⑶由⑴⑵可得=. 例3 已知函數的反函數是.求a,b,c的值. 解:⑴由解出x=. ∵原函數的值域是y≠3, ∴的反函數是. ⑵由互為反函數的函數關系知.與是同一函數.∴a=2,b=1,c=-3. 例4 若點A(1,2)既在函數=的圖象上.又在的反函數的圖象上.求a,b的值. 分析:求a,b.就要有兩個關于a,b的方程.如何尋求? ①A(1,2)在圖象上.這是很容易看出來的. ②如何用它也在的反函數的圖象上呢? 其一.真求反函數.再把A(1,2)代入. 能不能不求反函數? 其二.A(1,2)在反函數圖象上.則(2,1)就應在原函數的圖象上.即(a,b)滿足y=.則(b,a)應滿足y=.反之亦然. 解:由A(1,2)在=上.則有--①, 由A(1,2)在其反函數圖象上.可知(2,1)也在函數=圖象上.∴又有--②. 解聯立①②的方程組得a=-3,b=7. 例5.若.試求反函數. 分析:當已知函數是一個復合函數時.要求它的反函數.首先要求原來函數解析表達式. 解:令.則.. 代入所給表達式.得+2=. .∴.即原來函數是. 易求函數的反函數是 . 注:在利用換元解題時.一定要注意新元的取值范圍. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設函數f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1),f(x)的反函數f-1(x)的圖象與直線y=x的兩個交點的橫坐標分別為0、1.
(Ⅰ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)當點(x,y)是y=f(x)圖象上的點時,點(
x
3
y
2
)
是函數y=g(x)上的點,求函數y=g(x)的解析式:
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當g(
kx
3
)
-f(x)≥0時,求x的取值范圍(其中k是常數,且k≥
3
2
).

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設函數f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1),f(x)的反函數f-1(x)的圖象與直線y=x的兩個交點的橫坐標分別為0、1.
(Ⅰ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)當點(x,y)是y=f(x)圖象上的點時,點是函數y=g(x)上的點,求函數y=g(x)的解析式:
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當g-f(x)≥0時,求x的取值范圍(其中k是常數,且k≥).

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設函數f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1),f(x)的反函數f-1(x)的圖象與直線y=x的兩個交點的橫坐標分別為0、1.
(Ⅰ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)當點(x,y)是y=f(x)圖象上的點時,點(
x
3
y
2
)
是函數y=g(x)上的點,求函數y=g(x)的解析式:
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當g(
kx
3
)
-f(x)≥0時,求x的取值范圍(其中k是常數,且k≥
3
2
).

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在R+上的遞減函數f(x)同時滿足:(1)當且僅當x∈M?R+時,函數值f(x)的集合為[0,2];(2)f(
1
2
)=1;(3)對M中的任意x1、x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);(4)y=f(x)在M上的反函數為y=f-1(x).
(1)求證:
1
4
∈M,但
1
8
∉M;
(2)求證:f-1(x1)•f-1(x2)=f-1(x1+x2);
(3)解不等式:f-1(x2-x)•f-1(x-1)≤
1
2

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(1)在學習函數的奇偶性時我們知道:若函數y=f(x)的圖象關于點P(0,0)成中心對稱圖形,則有函數y=f(x)為奇函數,反之亦然;現若有函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形,則有與y=f(x)相關的哪個函數為奇函數,反之亦然.
(2)將函數g(x)=x3+6x2的圖象向右平移2個單位,再向下平移16個單位,求此時圖象對應的函數解釋式,并利用(1)的性質求函數g(x)圖象對稱中心的坐標;
(3)利用(1)中的性質求函數h(x)=log2
1-x4x
圖象對稱中心的坐標,并說明理由.

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同步練習冊答案
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