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例1 求函數y=的反函數. 解:⑴由原函數變形為y-y=1+.即=--①, ∵≥0.∴≥0.解得y<-1或y≥1, ⑵由①兩邊平方得x=[], ⑶∴原函數的反函數是= [], 說明:原函數的值域是借助于變形中的①式:≥0而得到的.對于一個比較復雜的函數.求它的值域時要注意題目中的現有條件. 例2 設函數y==.求它的反函數. 分析:這里給出了分段函數.即在不同的x范圍內有不同的表達式.因此.也應在不同的x范圍內求其反函數. 解:⑴當x<0時.y=x,其反函數仍是y=x; ⑵當x≥0時.y=.由y= 得x=,又y= 的值域為y≥0.∴y= 的反函數是y=. ⑶由⑴⑵可得=. 例3 已知函數的反函數是.求a,b,c的值. 解:⑴由解出x=. ∵原函數的值域是y≠3, ∴的反函數是. ⑵由互為反函數的函數關系知.與是同一函數.∴a=2,b=1,c=-3. 例4 若點A(1,2)既在函數=的圖象上.又在的反函數的圖象上.求a,b的值. 分析:求a,b.就要有兩個關于a,b的方程.如何尋求? ①A(1,2)在圖象上.這是很容易看出來的. ②如何用它也在的反函數的圖象上呢? 其一.真求反函數.再把A(1,2)代入. 能不能不求反函數? 其二.A(1,2)在反函數圖象上.則(2,1)就應在原函數的圖象上.即(a,b)滿足y=.則(b,a)應滿足y=.反之亦然. 解:由A(1,2)在=上.則有--①, 由A(1,2)在其反函數圖象上.可知(2,1)也在函數=圖象上.∴又有--②. 解聯立①②的方程組得a=-3,b=7. 例5．若.試求反函數．分析:當已知函數是一個復合函數時.要求它的反函數.首先要求原來函數解析表達式．解:令.則.. 代入所給表達式.得+2=. .∴.即原來函數是．易求函數的反函數是．注:在利用換元解題時.一定要注意新元的取值范圍．【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

設函數f（x）=log_a（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函數f^-1（x）的圖象與直線y=x的兩個交點的橫坐標分別為0、1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當點（x，y）是y=f（x）圖象上的點時，點(

，

)是函數y=g（x）上的點，求函數y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當g(

)-f（x）≥0時，求x的取值范圍（其中k是常數，且k≥

）．

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設函數f（x）=log_a（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函數f^-1（x）的圖象與直線y=x的兩個交點的橫坐標分別為0、1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當點（x，y）是y=f（x）圖象上的點時，點

是函數y=g（x）上的點，求函數y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當g

-f（x）≥0時，求x的取值范圍（其中k是常數，且k≥

）．

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，

)是函數y=g（x）上的點，求函數y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當g(

)-f（x）≥0時，求x的取值范圍（其中k是常數，且k≥

）．

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在R⁺上的遞減函數f（x）同時滿足：（1）當且僅當x∈M?R⁺時，函數值f（x）的集合為[0，2]；（2）f（

）=1；（3）對M中的任意x₁、x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；（4）y=f（x）在M上的反函數為y=f^-1（x）．
（1）求證：

∈M，但

∉M；
（2）求證：f^-1（x₁）•f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）；
（3）解不等式：f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤

．

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（1）在學習函數的奇偶性時我們知道：若函數y=f（x）的圖象關于點P（0，0）成中心對稱圖形，則有函數y=f（x）為奇函數，反之亦然；現若有函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形，則有與y=f（x）相關的哪個函數為奇函數，反之亦然．
（2）將函數g（x）=x³+6x²的圖象向右平移2個單位，再向下平移16個單位，求此時圖象對應的函數解釋式，并利用（1）的性質求函數g（x）圖象對稱中心的坐標；
（3）利用（1）中的性質求函數h(x)=log2

1-x

圖象對稱中心的坐標，并說明理由．

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