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在R+上的遞減函數f(x)同時滿足:(1)當且僅當x∈M?R+時,函數值f(x)的集合為[0,2];(2)f(
1
2
)=1;(3)對M中的任意x1、x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);(4)y=f(x)在M上的反函數為y=f-1(x).
(1)求證:
1
4
∈M,但
1
8
∉M;
(2)求證:f-1(x1)•f-1(x2)=f-1(x1+x2);
(3)解不等式:f-1(x2-x)•f-1(x-1)≤
1
2
分析:(1)根據當且僅當x∈M?R+時,函數值f(x)的集合為[0,2],且f(
1
2
)=1,對M中的任意x1、x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),即可證得結論;
(2)根據y=f(x)在M上遞減,可得y=f(x)在M有反函數y=f-1(x),x∈[0,2],任取x1、x2∈[0,2],設y1=f-1(x1),y2=f-1(x2),所以x1=f(y1),x2=f(y2)(y1、y2∈M),代入f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)即可證得結論;(3)f-1(x2-x)•f-1(x-1)≤
1
2
等價于:f-1(x2-x+x-1)≤f-1(1),利用函數的單調性,即可把原不等式轉化為
0≤x2-x≤ 2
0≤x-1≤2
x2-1≥1
,解此不等式組即可求得結果.
解答:解:(1)證明:因為
1
2
∈M,又
1
4
=
1
2
×
1
2
,f(
1
2
)=1,
所以f(
1
4
)=f(
1
2
×
1
2
)=f(
1
2
)+f(
1
2
)=2∈[0,2],所以
1
4
∈M,
又因為f(
1
8
)=f(
1
4
×
1
2
)=f(
1
4
)+f(
1
2
)=3∉[0,2],所以
1
8
∉M;
(2)因為y=f(x)在M上遞減,所以y=f(x)在M有反函數y=f-1(x),x∈[0,2]
任取x1、x2∈[0,2],設y1=f-1(x1),y2=f-1(x2),
所以x1=f(y1),x2=f(y2)(y1、y2∈M)
因為x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1y2),
所以y1y2=f-1(x1+x2),又y1y2=f-1(x1)f-1(x2),
所以:f-1(x1)•f-1(x2)=f-1(x1+x2);
(3)因為y=f(x)在M上遞減,所以f-1(x)在[0,2]上也遞減,
f-1(x2-x)•f-1(x-1)≤
1
2
等價于:f-1(x2-x+x-1)≤f-1(1)
0≤x2-x≤ 2
0≤x-1≤2
x2-1≥1

即:
-1≤x≤0或1≤x≤2
1≤x≤3
x≤ -
2
或x≥
2

所以
2
≤x≤2.
點評:此題考查抽象函數及其應用,反函數以及利用函數的單調性解不等式等問題,特別是問題(3),利用函數的單調性把不等式f-1(x2-x)•f-1(x-1)≤
1
2
轉化為
0≤x2-x≤ 2
0≤x-1≤2
x2-1≥1
,是解題的關鍵,體現了轉化的思想,同時考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力,屬中檔題.
練習冊系列答案
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已知定義在R上的奇函數f(x),當x>0時,f(x)=
x2+1
-
1
2
ax

(Ⅰ)當a=
2
時,討論f(x),在(-∞,0)上的單調性;
(Ⅱ)若f(x),在(-∞,0)上為單調遞減函數,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

在R+上的遞減函數f(x)同時滿足:(1)當且僅當x∈M?R+時,函數值f(x)的集合為[0,2];(2)f(數學公式)=1;(3)對M中的任意x1、x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);(4)y=f(x)在M上的反函數為y=f-1(x).
(1)求證:數學公式∈M,但數學公式∉M;
(2)求證:f-1(x1)•f-1(x2)=f-1(x1+x2);
(3)解不等式:f-1(x2-x)•f-1(x-1)≤數學公式

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科目:高中數學 來源: 題型:

(本題18分)在R+上的遞減函數f(x)同時滿足:(1)當且僅當xÎM  R+時,函數值f(x)的集合為[0, 2];(2)f()=1;(3)對M中的任意x1x2都有f(x1x2)= f(x1)+ f(x2);(4)y=f(x)在M上的反函數為y=f–1(x).

(1)求證:ÎM,但ÏM

(2)求證:f–1(x1)• f–1(x2)= f–1(x1+x2);

(3)解不等式:f–1(x2x)• f–1(x–1)≤

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在R+上的遞減函數f(x)同時滿足:(1)當且僅當x∈M?R+時,函數值f(x)的集合為[0,2];(2)f()=1;(3)對M中的任意x1、x2都有f=f(x1)+f(x2);(4)y=f(x)在M上的反函數為y=f-1(x).
(1)求證:∈M,但∉M;
(2)求證:f-1(x1)•f-1(x2)=f-1(x1+x2);
(3)解不等式:f-1(x2-x)•f-1(x-1)≤

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