Question

在R⁺上的遞減函數f（x）同時滿足：（1）當且僅當x∈M?R⁺時，函數值f（x）的集合為[0，2]；（2）f（

1

2

）=1；（3）對M中的任意x₁、x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；（4）y=f（x）在M上的反函數為y=f^-1（x）．
（1）求證：

1

4

∈M，但

1

8

∉M；
（2）求證：f^-1（x₁）•f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）；
（3）解不等式：f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根據當且僅當x∈M?R⁺時，函數值f（x）的集合為[0，2]，且f（

1

2

）=1，對M中的任意x₁、x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），即可證得結論；
（2）根據y=f（x）在M上遞減，可得y=f（x）在M有反函數y=f^-1（x），x∈[0，2]，任取x₁、x₂∈[0，2]，設y₁=f^-1（x₁），y₂=f^-1（x₂），所以x₁=f（y₁），x₂=f（y₂）（y₁、y₂∈M），代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）即可證得結論；（3）f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤

1

2

等價于：f^-1（x²-x+x-1）≤f^-1（1），利用函數的單調性，即可把原不等式轉化為

0≤x2-x≤ 2 0≤x-1≤2 x2-1≥1

，解此不等式組即可求得結果．

解答：解：（1）證明：因為

1

2

∈M，又

1

4

=

1

2

×

1

2

，f（

1

2

）=1，
所以f（

1

4

）=f（

1

2

×

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）=2∈[0，2]，所以

1

4

∈M，
又因為f（

1

8

）=f（

1

4

×

1

2

）=f（

1

4

）+f（

1

2

）=3∉[0，2]，所以

1

8

∉M；
（2）因為y=f（x）在M上遞減，所以y=f（x）在M有反函數y=f^-1（x），x∈[0，2]
任取x₁、x₂∈[0，2]，設y₁=f^-1（x₁），y₂=f^-1（x₂），
所以x₁=f（y₁），x₂=f（y₂）（y₁、y₂∈M）
因為x₁+x₂=f（y₁）+f（y₂）=f（y₁y₂），
所以y₁y₂=f^-1（x₁+x₂），又y₁y₂=f^-1（x₁）f^-1（x₂），
所以：f^-1（x₁）•f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）；
（3）因為y=f（x）在M上遞減，所以f^-1（x）在[0，2]上也遞減，
f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤

1

2

等價于：f^-1（x²-x+x-1）≤f^-1（1）

0≤x2-x≤ 2 0≤x-1≤2 x2-1≥1

即：

-1≤x≤0或1≤x≤2 1≤x≤3 x≤ - 2 或x≥ 2

所以

2

≤x≤2．

點評：此題考查抽象函數及其應用，反函數以及利用函數的單調性解不等式等問題，特別是問題（3），利用函數的單調性把不等式f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤

1

2

轉化為

0≤x2-x≤ 2 0≤x-1≤2 x2-1≥1

，是解題的關鍵，體現了轉化的思想，同時考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．